#7. Fourier Series(1. basic)

네, 다시 돌아왔습니다 ㅋㅋ Fourier series를 함께 차근차근 해볼텐데요, 일단 큰 그림을 머릿속에 넣고 갈겁니다.

Fourier series 에서는, 제일 먼저 주기가 $2\pi$인 경우의 특수한 경우를 따져볼거에요. 그 다음에는 그것을 조금 더 일반적으로, 주기가 임의의 상수로 나오는 경우에 대해 따져볼겁니다. 여기까지는 삼각함수를 가지고 하는 얘기입니다.

삼각함수가 아닌, 다른 함수로 확장시켜서 Fourier series 를 사용할 수 있도록 해주는 것이 바로 Sturm-Liouville 이론입니다. 이 이론이 없었다면 우리는 구면좌표계나 원통좌표계에서 나오는 방정식을 풀 수 없었을지도 몰라요.

대충 이 정도의 플롯을 가지고 포스팅을 따라와 주시면 되겠습니다. 그럼, 제일 단순한 경우부터 생각해볼까요?

Fourier series - 주기가 $2\pi$

Fourier series 를 가장 이해하기 쉽게 표현하자면, 이렇게 말할 수 있을 겁니다.

• 주어진 $f(x)$를 $\cos x,\sin x$의 합으로 표현하고자 하는 노력

이 말을 그대로 수식으로 옮겨볼게요.

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right)$$

Fourier series 모양 고치기

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right)$$

이 식으로 다시 돌아와 봅시다. 원칙적으로는 이 식이 맞지만, 여러분이 교과서에서 볼 식이랑은 조금 다를 거에요. 왜냐구요?

$n=0$을 넣은 상태에서는 어떻게 되느냐….
$$a_0 \cos 0 + b_n \sin 0$$
어 그런데… $\sin 0=0$이고 $\cos 0=1$이니까 $n=0$일 때는 그냥 $a_0$만 남겠네요.

그러니 결국 좀 더 간단히 표현해주자면,

$$\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right)\\&= a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right) \end{align}$$

이제 익숙한 표현을 보고 있죠?

왜 $\sin, \cos$?

저 식을 보고 의문이 든다면 당연한 겁니다. 왜 굳이?라는 거죠. 예를 들어…
$f(x)=x$인 경우를 생각해봅시다. 이 함수는 직선함수인데, 굳이 꼬불꼬불 주기 함수인 $\sin, \cos$로 표시할 필요가 있냐는거죠.

그 이유는 바로, 우리가 미분방정식 ODE를 풀 때 나오는 해들에 $\sin x, \cos x$가 많았다는 사실에서 기인합니다. 기억하나요?
사실 뭐… 우리가 풀었던 방정식의 해에는 $e^x$가 더 많이 나왔던 것은 사실입니다. 하지만 $e^x$는 상당히 다루기가 골룸한 함수일겁니다. $x$를 조금만 증가시키면 끝없이 위로 올라가버리니까요. 네 뭐, 적분이나 미분을 하기는 쉽습니다만, $e^x$와 가장 연관성이 높은 $\ln x$라는 함수는 적분하기도 상당히….골치가 아픈 놈입니다.
이런 점들 뿐만 아니라, $\sin x, \cos x$가 가지는 가장 큰 메리트는, 주기성과 직교성일 것입니다. 삼각함수가 주기를 가지는 것이야, 자명한거고, 직교성이 왜 이렇게 큰 메리트를 가지는지, 바로 아래에서 확인해 보도록 해요!

Fourier series -계수 구하기

orthogonality

$$\begin{align} f(x)&= a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right) \end{align}$$
자 그렇다면, 모르는 계수들을 구해볼겁니다. 바로 orthogonality를 이용해서요! 혹시 뭔지 까먹었나요? 여기서 어떤 내용인지 한 번 확인을 하고 옵시다.

한 마디로 말하자면, 이런 거겠죠?
$$\int_a^b r(x) f(x) g(x) dx =0$$
이미 저 포스팅에서는 $r(x) =1, f(x) = \sin x, g(x) = \cos x$일 때 orthogonality 가 성립한다는 사실을 보였습니다. $a=0, b=2\pi$일 때에 대해 보였었는데요, 좀 더 자세히 살펴봅시다.

$\cos nx, \cos mx$

$x$ 앞에 붙은 계수가 서로 다른 정수인 두 $\cos$함수는 orthogonality 를 보일겁니다. 유도해볼까요?

$$\begin{align} & \int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx dx\ \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi\cos (n+m)x dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi \cos (n-m)x dx \\ &= \frac{1}{2(n+m)} [\sin (n+m)\pi -\sin(n+m) (-\pi)] \\ &~~~~~+ \frac{1}{2(n-m)}[\sin (n-m)\pi - \sin(n-m)(-\pi) ]\end{align}$$

그런데, $(n+m), (n-m)$은 정수입니다. $\sin$에 정수배를 한 $\pi$를 곱하면 무조건 0으로 떨어질테니, 저 값은 결국 모두 0이 되겠네요.
$$\int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx dx=0$$

• 주의할 점은, $n=m$일 경우에는 위에서 함께 전개한 유도과정을 적용할 수 없다는 거죠. 그러면 분모에 0이 들어가게 되니까요! 이 orthogonality 는 $n\not =m$인 경우에만 성립합니다. $n=m$인 경우에는 따로 계산을 해줘야 하는 거죠!

$\sin nx, \sin mx$

$x$ 앞에 붙은 계수가 서로 다른 정수인 두 $\sin$함수또한 서로 orthogonality 를 보일겁니다.

$$\begin{align} & \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx dx\ \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi\cos (n-m)x dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi \cos (n+m)x dx \\ &= \frac{1}{2(n-m)} [\sin (n-m)\pi -\sin(n-m) (-\pi)] \\ &~~~~~+ \frac{1}{2(n+m)}[\sin (n+m)\pi - \sin(n+m)(-\pi) ]\end{align}$$
마찬가지 이유로, 전개한 항들은 전부 0으로 날아가겠죠?
$$\int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx dx=0$$

• 마찬가지로, $n \not = m$인 경우에만 성립하는 orthogonality 입니다.

$\sin nx, \cos mx$

$\sin, \cos$의 경우에는, $n=m$이어도 orthogonality가 성립합니다. 일단 $n \not = m$인 경우부터 유도해볼까요?
$$\begin{align} & \int_{-\pi}^\pi \sin nx \cos mx dx\ \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi\sin (n+m)x dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi \sin (n-m)x dx \\ &= -\frac{1}{2(n+m)} [\cos (n+m)\pi -\cos(n+m) (-\pi)] \\ &~~~~~- \frac{1}{2(n-m)}[\cos(n-m)\pi - \cos(n-m)(-\pi) ] \end{align}$$
그런데, $\cos$는 안에 $\pi, -\pi$가 들어간 결과가 같을테니 괄호안에 있는 녀석들이 전부 0으로 날아가 버릴겁니다. 즉!
$$\int_{-\pi}^\pi \sin nx \cos mx dx\ =0$$

그러면 $n=m$인 경우에는 어떻게 될까요? 삼각함수의 두배공식을 기억하신다면 쉬울겁니다!
$$\sin 2nx = 2\sin nx \cos nx$$

$$\int_{-\pi} ^\pi \sin nx \cos nx dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi \sin 2nx dx= -\frac{1}{4n} [\cos 2n\pi - \cos 2n(-\pi)]$$

네 마찬가지로, $\cos$항이 0으로 함께 날아갈테니, 이 값도 0이 되겠죠?

이제까지 살펴본 세 가지 orthogonality 를 정리해보면 아래와 같습니다.

1. $$\int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx dx=0 (n \not =m)$$
2. $$\int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx dx=0 (n \not =m)$$
3. $$\int_{-\pi}^\pi \sin nx \cos mx dx\ =0$$

이제 이 성질을 이용해서 계수를 구해볼겁니다.

$a_0$구하기

$a_0$는 제일 쉽습니다. 그냥 Fourier series 정의 식에다가 통째로 적분을 씌우면 되거든요!

$$\begin{align} f(x)&= a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right) \end{align}$$

여기에 $-\pi$부터 $\pi$까지 가는 적분을 씌워봅시다.

$$\begin{align} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx &= \int_{-\pi}^\pi a_0 dx + \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{n=1} ^\infty a_n \cos nx \right) dx +\int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\right) dx \\ &=a_0 \int_{-\pi}^\pi dx + \sum_{n=1} ^\infty a_n \int_{-\pi}^\pi \left( \cos nx\right) dx + \sum_{n=1} ^\infty b_n \int_{-\pi}^\pi \left( \sin nx\right) dx\end{align}$$

$\int_{-\pi}^\pi \left( \cos nx \right) dx = \int_{-\pi}^\pi \left( \sin nx\right) dx = 0$이라는 것 쯤이야 쉽게 보일 수 있을 겁니다. $n$이 정수니까요. 그러니 뒤에 있는 항들이 통째로 날아가고, 간단하게 정리가 뙇! 됩니다.

$$\int_{-\pi}^\pi f(x) dx = a_0 \int_{-\pi}^\pi dx = 2\pi a_0$$
결론적으로는,

• $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$

$a_n$구하기

이번에는 양변에 $\cos mx$를 곱해볼게요. 그런데 이 때, $m$은 뭘 선정하느냐 : 아무거나! 입니다. ㅋㅋㅋㅋ 어떤 정수든 선정해서 곱할거다…정도의 의미를 가진다고 생각하시면 되겠네요 ㅋㅋㅋ

$$\begin{align} f(x) \cos mx= a_0 \cos mx + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx \cos mx + b_n \sin nx \cos mx\right) \end{align}$$
여기에 $-\pi$부터 $\pi$까지 가는 적분을 씌워봅시다.
$$\begin{align} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos mx dx &= \int_{-\pi}^\pi a_0 \cos mx dx + \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx \cos mx \right) dx + \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \cos mx \right) dx \\ &= a_0 \int_{-\pi}^\pi \cos mx dx + \sum_{n=1}^\infty a_n \int_{-\pi}^\pi ( \cos nx \cos mx ) dx + \sum_{n=1}^\infty b_n \int_{-\pi}^\pi (\sin nx \cos mx) dx \end {align}$$

엇, 그렇다면….
$$a_0 \underbrace{\int_{-\pi}^\pi \cos mx dx}_{0} + \sum_{n=1}^\infty a_n \underbrace{\int_{-\pi}^\pi ( \cos nx \cos mx ) dx}_{0, except ~~n=m} + \sum_{n=1}^\infty b_n \underbrace{\int_{-\pi}^\pi (\sin nx \cos mx) dx}_{=0}$$
위에서 열심히 정리한 orthogonality 에 의해, 세 번째 적분이 통째로 날아갑니다. 그리고 첫 번째 적분이 0이 되는 건 쉽구요.
그렇다면, 이제 가운데에 있는 적분만이 남았습니다. $m$이 $n$과 같은 경우가 아니라면 전부 0이 되어 날아갈테니, 남은 항은 아래와 같겠죠.

$$a_m \int_{-\pi}^\pi \cos^2 mx dx$$

이걸 계산해보면 그냥 $a_m \pi$입니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ 계산은 간단하니 생략하고….

정리해서 적어보자면,
$$\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos mx dx = a_m \pi$$
이렇게 됩니다. 이제 $m$을 $n$으로 바꿔주기만 하면 책에서 보던 그 식이 나오겠죠.

• $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx$$

$b_n$구하기

똑같은 과정에 의해서 구할겁니다. 일단 양변에 $\sin mx$를 곱하고,

$$\begin{align} f(x) \sin mx= a_0 \sin mx + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx \sin mx + b_n \sin nx \sin mx\right) \end{align}$$

여기에 $-\pi$부터 $\pi$까지 가는 적분을 씌워봅시다.

$$\begin{align} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin mx dx &= \int_{-\pi}^\pi a_0 \sin mx dx + \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx \sin mx \right) dx + \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \sin mx \right) dx \\ &= a_0 \int_{-\pi}^\pi \sin mx dx + \sum_{n=1}^\infty a_n \int_{-\pi}^\pi ( \cos nx \sin mx ) dx + \sum_{n=1}^\infty b_n \int_{-\pi}^\pi (\sin nx \sin mx) dx \end {align}$$

위에 있는 거랑 똑같습니다 ㅋㅋㅋ

$$a_0 \underbrace{\int_{-\pi}^\pi \sin mx dx}_{0} + \sum_{n=1}^\infty a_n \underbrace{\int_{-\pi}^\pi ( \cos nx \sin mx ) dx}_{=0} + \sum_{n=1}^\infty b_n \underbrace{\int_{-\pi}^\pi (\sin nx \sin mx) dx}_{0, except ~~n=m}$$

따라서 남는 항은 이렇게 나올거고,
$$b_m \int_{-\pi}^\pi \sin^2 mx dx$$

예상하셨듯 $b_m \pi$가 될겁니다. 다시 정리해보면,

$$\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin mx dx = b_m \pi$$

짜잔! ㅋㅋㅋ 쉽죠? 우리가 앞으로 할 것들에 비하면 아무것도 아닌 계산량입니다.. 쏘쌛 ㅠㅠ

• $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi} ^\pi f(x) \sin nx dx$$

정리

정리해보자면, Fourier series 는 아래와 같이 표현됩니다.

$$\begin{align} f(x)&= a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right) \end{align}$$

주어진 함수를 두 삼각함수들의 무한합 형태로 표현하는 것이고, 이 때 각각의 계수를 이렇게 잡아주면 결과가 완성됩니다.

• $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$
• $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx$$
• $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi} ^\pi f(x) \sin nx dx$$

조금만 더 살펴볼까요? $n$이 증가할 수록 삼각함수들의 주기가 더 작아집니다. 즉, 더 세부적인 부분에 대한 표현이 가능하다는 거죠. 실제로 $n$의 증가에 따른 그래프의 모양을 보면 아래와 같습니다. 검은 색이 원래의 함수이고, 색깔이 들어간 그래프가 Fourier series 로 근사한 값입니다.

이미지 출처

그래서 사실 제일 중요한건 초반, 그러니까 $n$이 작을때의 계수들이 굉장히 중요하게 작용하더라~는 얘기를 할 수 있는거죠.

다음 시간 예고

저 위에 있는 그래프를 다시 보고 와봅시다. 주기가 얼마인가요? ㅋㅋㅋㅋ 잘 안보이겠지만, 3.14 즈음에서 0을 찍고 내려가는 것이 보이나요? 네 그렇습니다. 저 함수는 $2\pi$를 주기로 갖는 함수인데요, 하지만 세상에는 $2\pi$를 주기로 갖는 함수만 있는 것이 아니기 때문에, 어떻게 일반화를 시킬것이냐…에 대해 얘기를 좀 해보려 합니다. 일단 오늘은 몸풀기 정도로 생각해두고, 다음에 봐요!