#2-2nd order ODE(2.non-homogeneous : Variation of Parameters)

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#어디까지 왔니?

#어디까지왔니?

지난번 포스팅의 멘붕이 아직 가시지 않았나요?ㅠㅠ 이번 포스팅까지 하면 nonhomogeneous 2nd order ODE 에 대한 이야기는 끝나니까, 조금만 힘내서 달려보도록 합시다. 이론을 보면서, 문제 푸는 법을 자꾸 익히다보면 달인이 될거에요!!

복습

nonhomogeneous 2nd order ODE를 풀 때는 반드시 homogeneous solution 인 $y_h$와 particular solution 인 $y_p$의 두 가지 해를 구한 뒤 더해주어야 한다고 말해습니다.
그리고 지난시간에는, $y_p$를 $r(x)$의 꼴을 보고 적당히 설정한 다음, $y_p$를 직접 대입해서 상수를 찾아 나가는 과정이었습니다. $r(x)$의 종류에 따라 크게 네 가지 경우를 나누었었구요, 주의해야 할 점에서 몇 가지를 살펴 보았는데,

1. 상수계수(constant coefficient) 에서 사용하는 것이 좋다
2. 표에 있는 함수들의 합으로 $r(x)$가 이루어져 있다면, 더한다.
3. 만약 $y_h$랑 형태가 똑같다면, 달라질때까지 $x$, $x^2$….이런 것을 곱한다. (modification rule)
4. 그럼에도 불구하고 표에 없으면 다음시간에 배우자.

는 거였습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 1~3은 기억하고 계시고, 4번을 함께 오늘 다뤄봅시다.

2. 매개변수 변환법(variation of parameters)

1. Wronskian

Wronskian 은 우리가 #2.0 포스팅을 볼 때 잠시 나왔던 놈입니다. 2차 ODE에서 어떻게 정의가 되었느냐…

$$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 &y_2 \\ \frac{dy_1}{dx} &\frac{dy_2}{dx} \end{vmatrix}$$
네 이렇게 정의가 되었습니다. 3, 4, 5….차에 대해서는, 나중에 얘기하도록 하고, 오늘은 2차에 대해서만 다뤄보려고 합니다.

우리는 편의를 위해서, $W_1, W_2$라는 또다른 Wronskian 을 정의합니다.

$$W_1(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} 0 &y_2 \\ 1 &\frac{dy_2}{dx} \end{vmatrix}$$
$$W_2 (y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 &0 \\ \frac{dy_1}{dx} & 1\end{vmatrix}$$

즉, $W_j$는 $j$번째 열(세로줄)을, $0,0,0,....,0,10,0,0,....,0,1$로 바꾼 것입니다. 사실 2차에서는 정의할 필요가 있을까…? 싶기도 한 간단한 결과식이지만, 더 높은 차수의 ODE를 위해 미리 정의해 두는 것입니다. 계산을 해보면,

$$W_1 (y_1, y_2) = -y_2 \\W_2 (y_1 , y_2) = y_1$$

ㅋㅋㅋㅋ네 그렇죠 정의를 안하는 것이 더 편할 것 같다는 느낌…ㅋㅋㅋ 일단 이렇다고 accept 하고, 다음으로 넘어갑시다.

2. 유도 과정 -1

지금부터 정신을 제대로 차리고 따라 오셔야 합니다 ㅠㅠ 수많은 ‘가정’들이 나올거니까요 ㅠㅠㅠ
우리가 풀고자 하는 방정식은 아래와 같습니다.

$$\frac{d^2 y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = r(x)$$

우리가 homogeneous solution 을 구해서, 두 basis가 $y_1,y_2$가 나왔다면, $y_h$는 이렇게 정의되겠죠.

$$y_h = y_1 + y_2$$
사실 지금 $y_p$에 대한 정보가 아무것도 없는 상태에서, 우리가 할 수 있는 것이 없습니다. 그래서 우리는 예~전에, 우리가 차수축소법(reduction of order)를 했을 때 처럼, $y_p$도 뭔가 두 기저에 함수를 곱한 꼴처럼 나타나지 않을까….그러면 좋겠다……하는 생각에 식을 전개시켜보기 시작합니다. 벌써부터 노가다의 스멜....

$$y_p=u(x)y_1+v(x)y_2$$
네 기….억 나시다 시피……그대로 대입해주는 겁니다 ㅠㅠㅠ
$$\frac{dy_p}{dx}=\frac{du}{dx}y_1+u\frac{dy_1}{dx}+\frac{dv}{dx}y_2+v\frac{dy_2}{dx}$$
$$\frac{d^2y_p}{dx^2}=\frac{d^2u}{dx^2}y_1 + \frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx} +\frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx}+u\frac{d^2y_1}{dx^2}+\frac{d^2v}{dx^2}y_2+\frac{dv}{dx}\frac{dy_2}{dx}+\frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx}+v\frac{d^2y_2}{dx^2}$$
왜 $\frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx}$ 두 개를 따로 쓰는지는 따라오다 보면 알게 될겁니다 ㅎㅎㅎ

종이와 펜을 들고 천천~히 대입!
$$\left( \frac{d^2 u}{dx^2} y_1 + \frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} \frac{dy_1}{dx} + u\frac{d^2y_1}{dx^2} + \frac{d^2 v}{dx^2} y_2 + \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} + \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} + v\frac{d^2 y_2 }{dx^2} \right)\\+p \left( \frac{du}{dx} y_1 + u\frac{dy_1}{dx} + \frac{dv}{dx} y_2 + v\frac{dy_2}{dx} \right) + q(uy_1+vy_2)=r$$

제일 먼저, $u(x),v(x)$가 포함된 항을 모두 모아보면 이렇게 됩니다.
$$u\left(\frac{d^2 y_1}{dx^2} + p\frac{dy_1}{dx} + qy_1 \right)+v\left(\frac{d^2 y_2}{dx^2} + p\frac{dy_2}{dx} + qy_2 \right)$$
어차피 우린 $y_1, y_2$가 해라고 정의했으니까 요놈은 0으로 날아갈거고…..다시 남은 걸 적절히 묶어 봅시다.

$$\left( \frac{d^2 u}{dx^2} y_1 + \frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} \frac{dy_1}{dx} + \frac{d^2 v}{dx^2} y_2 + \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} + \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} \right)+p \left( \frac{du}{dx} y_1 + \frac{dv}{dx} y_2 \right) =r$$

이 때, $p$로 묶여 있는 부분은 만약 $0$이 아니라면, $p$에 따라 또 다시 달라지는 엄청난 복잡한 식이 완성될테니……그냥 $0$으로 보내버려봅시다. just try~
$$\left( \frac{du}{dx} y_1 + \frac{dv}{dx} y_2 \right) =0$$
근데 이걸 미분해보니까…
$$\frac{d^2 u}{dx^2} y_1 + \frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx} + \frac{d^2 v} {dx^2} y_2 + \frac{dv}{dx}\frac{dy_2}{dx}=0$$
를 얻고, 이것을 그대로 위의 복잡한 식에 넣어보면 전부다 0으로 날아가고
$$\left( \frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx}+ \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} \right) = r$$

그나마 깔끔해진 식을 얻습니다. 정리해보면,

1. $$\left( \frac{du}{dx} y_1 + \frac{dv}{dx} y_2 \right) =0$$ 요걸 가정하니까
2. $$\left( \frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx}+ \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} \right) = r$$ 요걸 얻는구나~
   두 식이 굉장히 비슷하게 생겼습니다. 연립방정식 처럼 풀어보면 될거같네요!

2. 유도 과정 -2

여기까지 정신없이 따라오셨죠? 한번 쯤 손으로 유도를 해보셔야 합니다 ㅠㅠㅠ 문제 풀때 고스란히 다시 반복해야하는…
이제 저 연립방정식을 풀기만하면 식을 유도할 수 있습니다. 화이팅! ㅠㅠㅠ

20151228 수정내역

댓글로 <느도수소>님께서 몇 가지 실수를 지적해주셔서, 그것을 수정했습니다. 혼란을 드려 죄송하고, 지적해 주신 <느도수소>님 감사합니다! 수정 내역은 아래와 같습니다.

1. u 구하기의 두 번째 식 - ry1에서 ry2로 수정

2. v 구하기 : "2"번 식에 y1을 곱한 식! ("2"추가)

3. v 구하기의 첫 번째 식 - dy1/dx 에서 dy2/dx로 수정

• $u$구하기
  1번 식에 $\frac{dy_2}{dx}$를, 2번 식에 $y_2$를 곱한 식
  $$\frac{du}{dx} y_1 \frac{dy_2}{dx} + \frac{dv}{dx} y_2 \frac{dy_2}{dx}=0\\\frac{du}{dx}\frac{dy_1}{dx} y_2+ \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} y_2 =ry_2$$
  아래식에서 위 식을 뺍니다.
  $$\frac{du}{dx} \left( y_2 \frac{dy_1}{dx} - \frac{dy_1}{dx} y_2 \right) = ry_2$$
  우리는 좌변의 괄호 안 부분이 Wronskian과 관련된 식이라는 것을 알고 있습니다.
  $$\frac{dy_1}{dx}y_2 - \frac{dy_2}{dx} y_1 = -W \\ y_2 = -W_1$$
  그대로 대입을 한 번 해보겠습니다.
  $$-W\frac{du}{dx} = -rW_1 \\ \frac{du}{dx} = r \frac{W_1}{W}$$
  변수분리법을 적용하기 쉽도록 하려면
  $$du=r \frac{W_1}{W} dx$$

이러고 나서 양변을 $x$에 대해 적분하면 $u$를 얻을 수 있습니다. 이건 1차 ODE 풀 때 했었죠? ㅎㅎㅎㅎ

• $v$구하기
  1번식에 $\frac{dy_1}{dx}$를, 2번식에 $y_1$을 곱한 식!
  $$\frac{du}{dx} y_1 \frac{dy_2}{dx} + \frac{dv}{dx} y_1 \frac{dy_1}{dx} =0\\ \frac{du}{dx} \frac{dy_1}{dx} y_1 + \frac{dv}{dx} \frac{dy_2}{dx} y_1 = ry_1$$
  아래 식에서 위 식을 빼면,
  $$\frac{dv}{dx} \left( \frac{dy_2}{dx} y_1 - \frac{dy_1}{dx} y_2 \right) = ry_1$$
  Wronskian 을 어떻게 정의 했느냐…
  $$\frac{dy_2}{dx}y_1 - \frac{dy_1}{dx} y_2 = W \\ y_1 = W_2$$
  이걸 다시 대입!
  $$W \frac{dv}{dx} = rW_2 \\ \frac{dv}{dx} = r\frac{W_2}{W}$$
  변수분리 하기위해….
  $$dv = r\frac{W_2}{W} dx$$

끝났습니다. ㅋㅋ 이제 결론을….

3. 결론

$$u(x) = \int r\frac{W_1}{W} dx , ~~~ v(x) = \int r\frac{W_2}{W}dx$$
$$y_p = uy_1+vy_2 = y_1 \int r\frac{W_1}{W} dx + y_2 \int r\frac{W_2}{W}dx$$

(아직은 그럴 필요 없지만….) 굳이 일반화를 하면
$$y_p = \sum_{i=1}^2 y_i \int r \frac{W_i}{W} dx$$

이 모양을 잘 기억해 두고 있으면, 얼마 안 가서 보게 될 higher order ODE 에서 유용하게 쓸 수 있습니다.
자 그런데, 해에 $p(x),q(x)$가 들어가나요? 안들어가죠! 그렇습니다. $p(x),q(x)$의 영향을 받지 않는 해라는 중요한 사실! 앞에서 배웠던 미정계수법에 비해 활용범위가 훨씬 넓다는 것을 알 수 있죠!
여튼, 일반적인 경우의 linear 2nd order ODE 에 대해 nonhomogeneous solution 을 구하는 방법에 대해 지금까지 알아보았습니다. 만약 $p(x),q(x)$가 상수라면 앞에서 배운 미정계수법(Undetermined coefficient)을 쓰면 되고, 그렇지 않다면 이번시간에 열심히 유도한 것 처럼…저렇게 하면 됩니다 ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ

매번 말하지만, 저 공식을 암기하기 위해 노력하지말고 빨리 풀이과정을 숙달하는 연습을 해야 합니다. 그래야 나중에 헷갈리지 않고 정확하게 풀 수 있을 테니까요!!

정리

2nd order ODE에 대해서, #2.1 에서는 homogeneous 한 linear ODE 두 가지(상수계수, 오일러코시)를 살펴보았습니다. 거기서 구했던 해 두 가지를 기본으로 nonhomogeneous 한 linear ODE의 particular solution 을 구하는 방법 또한 두 가지를 배웠는데요, 미정계수법과 매개변수변환법이었습니다. 각각이 어떤 경우에 쓰이는지 충분히 숙지를 하고, 풀이법도 완전히 여러분의 것으로 만든 뒤, 다음 포스팅에 올라올 문제를 풀어보도록 합시다.

고생하셨습니다 ㅋㅋ 여기까지 1, 2차 ODE를 푸는 ‘analytic’ solution 에 대한 이론 포스팅을 마치겠습니다!!!
다음 포스팅에서는, 두 부분으로 나누어 2차 이상의 ODE를 푸는 방법에 대해 개괄적으로 살펴보도록 하겠습니다~

• +덧. 저번 시간에 풀었던 미분방정식은 이거였습니다.
  $$\frac{d^2 y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx}+2y=12x^2$$
  여기에 오늘 배운 매개변수변환법을 써서, 저번시간의 답과 비교해봅시다. 참 쉽죠?ㅋㅋ