Newbie를 위한 양자역학 03_배경지식(Del 연산자의 좌표 변환)

그림 출처

#Review

• 3개의 좌표계에서 좌표를 어떤 방식으로 표현하나요?
• $\nabla$를 이용한 대표적인 연산 4개가 있죠?

‘있죠?’라고 물어봤다고 ‘있다’라고 대답하시면… 네… 있죠… 맞아요.

#Preview

즐겁고 날씨 좋은 토요일(5/16)에 보강을 갔다 와서 행복한 마음으로 글을 시작해봅니다. 교수님이 수강생 전체한테, 물론 출석한 사람입니다, 점심으로 피자와 치킨을 사셨거든요. 하지만 낮에 날씨가 너무 좋았어요. 하지만요.

자, 각설하고 프리뷰를 해 봅시다. 일단 저번 포스팅에서 말할 게 있습니다. 저번에 $\nabla$를 $\frac{d}{dx}$ 등등으로 정의를 했어요. 근데 $d$라는 건 편미분이 아니죠. 그래서 $\frac{df}{dx}$를 하면 그냥 $f$를 $x$만으로 미분한 함수뿐만 아니라 $\frac{dy}{dx}$나 $\frac{dz}{dx}$가 들어간 항들이 줄줄줄 붙어나오는 게 아닌가? 라고 생각하실 수 있어요. 그런데 좌표계의 $x, y, z$는 서로 독립적인 변수이기 때문에, 즉 서로 관계가 없는 변수들이라서 $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=0$이 되고, 결국 이런 항들은 무시해도 괜찮아요. 물론 원통이나 구면 좌표계에서도 마찬가지죠. 그래도 일단 앞으로의 혼란을 막기 위해 편미분으로 다시 정의를 하고 쓰겠습니다.
$$\nabla= (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{y}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{z}$$
$\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$는 $x, y, z$방향 벡터예요. 그럼 이번에는 뭘 할 것이냐. 앞에서도 언급했듯이, 지금 $\nabla$가 $x, y, z$에서 정의되어 있으니, 이걸 원통좌표계 $(r, \phi, z)$와 구면좌표계 $(r, \theta, \phi)$로 옮길 거예요. 결국, $\frac{\partial}{\partial x}$같은 걸 각각의 좌표계로 바꾸는 작업을 하면 돼요. 이 좌표 변환 작업은 살면서 한 번쯤은 해 볼만한 가치가 있어요. 절대 두 번하지는 마세요. 그냥 책 찾아보는 게 훨씬 빨라요. 포스팅을 하면서 다시 한 번 느꼈답니다.

# Cylindrical Coordinate System

1. Volume Element

프리뷰에서 말한 작업을 바로 하기에는 제가 지금 낮잠을 자고 싶기 때문에, 사이드 내용 하나만 말하고 가겠습니다. 원통 좌표계에서 미소부피를 정의하는 부분입니다. 미소부피가 어떤 개념인지 보기 위해 카테시안을 잠깐 끌어와볼까요? 직교좌표계에서 부피라 하면 직육면체 모양을 잡겠죠. 가로 $x$, 세로 $y$, 높이 $z$ 말이죠. 가로 세로 높이가 $dx$, $dy$, $dz$인 아주 작은 직육면체가 있다면 카테시안 좌표계에서 미소부피(Volume Element) $dV$는 이렇게 써도 되겠네요.
$$dV = dxdydz$$
이런 미소부피 개념을 원통좌표계에서 구해보려 합니다. 그러니까, $dV$를 $dr, d\phi, dz$로 표현하겠다는 거예요. 어… 금방 하고 낮잠 자려했는데… 그림 그리러 가야겠네요… 헝헝 파워포인트만으로 그리기 어려워서 도구를 이용했어요.

원통좌표계에서 미소부피는 그림처럼 원통껍질로 잡습니다. $r$ 방향으로 조금 간 거, $\phi$ 방향으로 조금 간 거, $z$ 방향으로 조금 간 거를 생각해서 부피요소를 만들죠. 이거의 부피를 구해 볼까요? 정확하게 하고 싶으시다면, 구분구적법으로 하실 수 있지만, 지금 각 방향으로의 변화량, 즉 $dr, d\phi, dz$가 아주 작기 때문에, 이 부피 또한 직육면체처럼 그냥 구해도 됩니다. 그림에서 가로길이는 $dr$이고요, 세로는 $l=r\theta$ 생각해보시면 $rd\phi$로 쓸 수 있죠. 물론 안쪽 원에서는 $rd\phi$고 바깥에서는 $(r+dr)d\phi$지만 미소 변화량이라서 둘이 같다고 생각한 거예요. 높이는 $dz$네요. 결국 미소부피는 가로 세로 높이를 곱하면,
$$dV = rdrd\phi dz$$

2. 방향벡터 변환

휴지로 그림 그리다가 잠이 깼기 때문에 계속 써보겠습니다.
먼저, 그림을 보면서 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$라는 방향 벡터를 원통 좌표계의 기저인 $\hat{r}, \hat{\phi}, \hat{z}$로 바꿔 봅시다. 일단 보나마나 $\hat{z} = \hat{z}$겠군요. 하나 해결했고.

$\hat{z}$를 없앴으니 $xy$평면만 그려봤어요. 아, 참고로 저거 $\hat{\phi}$입니다. 파워포인트 수식입력기에 $\phi$가 저 글씨체인 거밖에 없었어요. 일단 벡터 크기는 나중에 보고 방향 성분만 뽑아보면, $\hat{x}$와 $\hat{y}$는 이렇게 써도 되겠죠?
$$\hat{x} = \cos \phi \hat{r} - \sin \phi \hat{\phi} \\ \hat{y}= \sin \phi \hat{r} + \cos \phi \hat{\phi}$$
$\hat{r}$과 $\hat{\phi}$는 직교하기 때문에, $\hat{x}, \hat{y}$의 크기를 구해보면 아주 우연히도 1이 됩니다. 즉, 지금 구한 $\hat{x}, \hat{y}$ 자체가 방향벡터가 된 거죠. 오케이 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ 셋 다 구했습니다.

3. 미분연산자 변환

이제, $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}$를 $r, \phi, z$에 관한 식으로 바꾸겠습니다. 결국에는 좌표끼리 변환하는 거기 때문에, 저번 포스팅에 있던 식을 긁어와서 같이 보죠.
$$(1) ~x=r \cos \phi \\ (2) ~y=r \sin \phi \\ (3) ~z =z$$
혹은
$$(4) ~r^2= x^2+y^2 \\ (5) ~\phi = \tan^{-1} (\frac{y}{x})\\ (6) ~z=z$$
번호는 임의로 붙여보았어요.
또 원하는 결과를 얻기 위해서는 여기서 언급된 Total Derivative의 개념을 써야합니다. 즉, 이런 거죠
$$\frac {\partial}{\partial x} = \frac {\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac {\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac {\partial z}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {\partial}{\partial y} = \frac {\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r} + \frac {\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac {\partial z}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {\partial}{\partial z} = \frac {\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r} + \frac {\partial \phi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac {\partial z}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z}$$
식에서 보니, 각 연산자의 계수 부분만 구하면, 쉽게 바꿀 수 있을 거 같네요. 그럼, 음악을 틀고 무념무상하게 저 계수들을 구해봅시다. 쉬운 거부터 합시다. $z$부터 갈게요. 좌표계의 정의에서 $z$는 $r, \phi$와 독립되어 있다고 했어요. 다시 말해서,
$$\frac {\partial r}{\partial z} = \frac {\partial \phi}{\partial z}=0 \\ \frac {\partial z}{\partial z} = 1$$
독립적이라서 계수가 $0$이라는 설명이 마음에 들지 않으신다면, (4)와 (5)번 식을 $z$로 편미분해도 같은 결과를 얻는답니다. 어쨌든 계수 다 구했네요. [System]: [03] 계수를 구하라! (3/9)
$$\frac {\partial}{\partial z} = \frac {\partial}{\partial z}$$
속지 마세요. 하나 구한 거예요. 하하하
자, 이번에는 (4)번 식을 $x$로 편미분한 것과, $y$로 편미분한 것을 써 봅시다.
$$2r \frac{\partial r}{\partial x} = 2x \\ 2r \frac{\partial r}{\partial y} = 2y$$
정리해봅시다. [System]: [03] 계수를 구하라! (5/9)
$$\frac {\partial r}{\partial x}=\frac {x}{r} = \cos \phi \\ \frac {\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin \phi$$
이제 (5)번 식을 $x$로 편미분한 것과, $y$로 편미분한 것을 써 봅시다. 아크탄젠트 미분을 울프람알파에서 찾아보고 왔다고 합니다
$$\frac {\partial \phi}{\partial x}= \frac{1}{ (\frac{y}{x})^2+1}\cdot (- \frac{y}{x^2}) = - \frac{y}{x^2+y^2} =- \frac {\sin \phi}{r} \\ \frac{\partial \phi}{\partial y}= \frac{1}{ (\frac{y}{x})^2+1}\cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{\cos \phi}{r}$$
어느새 계수를 7개 구했네요. 그리고 마찬가지로 $x, y, z$가 독립적이기 때문에 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y}=0$입니다.
[System]: [03] 계수를 구하라! (완료)
종합해봅시다.
$$\frac {\partial}{\partial x} = \cos \phi \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac {\partial}{\partial y} = \sin \phi \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac {\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}$$

4. $\nabla$의 표현(원통좌표계)

자, 프리뷰에서 $\nabla$를 제가 벡터로 표시했죠? 그리고 방향벡터도 다 변환했고, 미분연산자도 다 변환했어요. 남은 건 대입하는 거밖에 없네요. 그래디언트를 한 번 만들어볼까요?
$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{y}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{z}\\ = (\cos \phi \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \phi})(\cos \phi \hat{r} - \sin \phi \hat{\phi}) \\ + (\sin \phi \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \phi})(\sin \phi \hat{r} + \cos \phi \hat{\phi}) \\ + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z}$$
지금 뭐하는 짓거리냐고 물으신다면 대답해드리는 게 인지상정. 난 냐옹이다옹 그냥 위에서 구한 걸 대입해봤어요. 이제 $\hat{r}, \hat{\phi}, \hat{z}$ 각각으로 묶어봅시다.
$$\nabla = \frac{\partial}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z}$$
Sine, Cosine이 마법처럼 없어지는 걸 직접 느껴보실 수 있답니다. 이런 식으로 이전 포스팅에서 언급한 4개의 연산자를 모두 좌표변환해보실 수 있습니다. 지금 미분연산자와 방향벡터를 이미 다 변환했기 때문에, 약간의 끈기와 인내, 참을성과 용기, 그리고 자신감과 여유, 그리고 맥주 한 캔만 있으시다면 다 바꾸실 수 있습니다. 일단은 라플라시안만 한 번 더 바꿔보… 아니다 구면좌표계에서 할게요. 지금은 그냥 그래디언트만 구해보는 걸로…. 좀 있다 구면좌표계에서 하는 것처럼 하시면 돼요.

# Spherical Coordinate System

1. Volume Element

자, 이제 구면좌표계로 가 봅시다. 적절한 그림이 있어서 가져왔습니다. 그림 출처

구면좌표계에서 부피 요소는 그림처럼 구껍질을 잡습니다. 수박같은 거 네모나게 자르면 나오는 그런 모양이죠. 원통좌표계에서와 다르게 구면좌표계에서는 원점에서 부피 요소까지의 거리 자체가 $r$이라고 했죠. 그러니 일단 높이가 $dr$인 건 이해할 수 있습니다. 세로 길이가 $r d\theta$인 것도 쉽게 이해할 수 있죠. 다음 가로 길이 역시 호 모양인데, 그 호의 반지름은 $r \sin \theta$일 겁니다. 벌어진 각도가 $d \phi$이니 가로 길이는 $r \sin \theta d \phi$라고 쓸 수 있네요. 마찬가지로 $dr, d\theta, d\phi$가 아주 작은 양이기 때문에 미소 부피는 가로, 세로, 높이를 곱하면 구할 수가 있어요. 그러면 이렇게 되죠.
$$dV = r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$$
여기 제일 밑에서 $dV$ 항에서 $r^2 \sin \theta$가 나왔다고 말한 게 이런 이유죠.

2. 방향벡터 변환

한 번 더 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$라는 방향 벡터를 구면좌표계의 기저인 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi}$로 바꿔 봅시다. 원통좌표계 때와 달리 지금은 낮에 글을 쓰는데요, 글을 이성적으로 쓸 수 있네요. 좋아요.

점을 $xy$ 평면에 정사영시킨 것의 방향 벡터를 $\hat{d}$라고 해보았어요. 그럼 왼쪽의 그림에서 $\hat{z}$와 $\hat{d}$를 구할 수가 있겠네요. 원통좌표계 때랑 똑같이 생각하면 돼요.
$$\hat{z} = \cos \theta \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta} \\ \hat{d} = \sin \theta \hat{r} + \cos \theta \hat{\theta}$$
이제 오른쪽 그림에서 $\hat{d}$로부터 $\hat{x}, \hat{y}$를 끄집어낼 수 있네요. 원통 때랑 똑같아요. 그 말은 곧, 긁어오면 된다는 거죠.
$$\hat{x} = \cos \phi \hat{d} - \sin \phi \hat{\phi} \\ \hat{y}= \sin \phi \hat{d} + \cos \phi \hat{\phi}$$
위에서 구한 $\hat{d}$를 대입해주면 방향벡터 3개를 모두 얻을 수가 있군요.
$$\hat{x} = \sin \theta \cos \phi \hat{r} + \cos \theta \cos \phi \hat{\theta} -\sin \phi \hat{\phi} \\ \hat{y}= \sin \theta \sin \phi \hat{r} + \cos \theta \sin \phi \hat{\theta} +\cos \phi \hat{\phi} \\ \hat{z} = \cos \theta \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta}$$

3. 미분연산자 변환

단순반복이죠. 너무 쉬워요. 이번에도 똑같이 아래의 세 식을 바꿔주기만 하면 끝이랍니다.
$$\frac {\partial}{\partial x} = \frac {\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac {\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac {\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac {\partial}{\partial y} = \frac {\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r} + \frac {\partial \theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac {\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac {\partial}{\partial z} = \frac {\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r} + \frac {\partial \theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac {\partial \phi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \phi}$$
구면 좌표계에서의 관계식을 저번 포스팅에서 긁어와봤어요.
$$x=r \sin \theta \cos \phi \\ y=r \sin \theta \sin \phi \\ z=r \cos \theta$$
그리고,
$$r^2= x^2+y^2+z^2 \\ \theta = \tan^{-1} \frac {\sqrt{x^2+y^2}}{z}\\ \phi = \tan^{-1} \frac {y}{x}$$
슬슬 왜 제가 저번 포스팅에서 “다음 포스팅에는 이거 하려 해요~”라고 썼는지 후회되는 대목이죠. $r^2 = ~$ 으로 되어 있는 식에 $x, y, z$ 편미분해봅시다.
$$\frac {\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \sin \theta \cos \phi \\ \frac {\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin \theta \sin \phi \\ \frac {\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r} = \cos \theta$$
$\theta = ~$로 되어 있는 식도 $x, y, z$ 편미분해봅시다. 아크탄젠트 미분은 원통 때 보고 왔으니 이번에는 소신껏 해보죠. 중간과정은 약간 생략할게요.
$$\frac {\partial \theta}{\partial x} = \frac{xz}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\cos \theta \cos \phi}{r} \\ \frac {\partial \theta}{\partial y} = \frac{yz}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{\cos \theta \sin \phi}{r}\\ \frac {\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+z^2} =-\frac {\sin \theta}{r}$$
헉헉헉… 자 마지막이에요. $\phi = ~$로 되어 있는 식을 $x, y, z$ 편미분해봅시다.
$$\frac {\partial \phi}{\partial x} = -\frac{y}{x^2+y^2}=- \frac {\sin \phi}{r \sin \theta} \\ \frac {\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{\cos \phi}{r \sin \theta}\\ \frac {\partial \phi}{\partial z} = 0$$
자, 다 구했네요. 좋아요. 미분연산자를 다 변환할 수 있어요 이제.
$$\frac {\partial}{\partial x} = \sin \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta \cos \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac {\sin \phi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac {\partial}{\partial y} = \sin \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta \sin \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos \phi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac {\partial}{\partial z} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac {\sin \theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$

4. $\nabla$의 표현(구면좌표계)

마찬가지로 그래디언트를 한 번 써 봅시다.
$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{y}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{z}\\ =(\sin \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta \cos \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac {\sin \phi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi})(\sin \theta \cos \phi \hat{r} + \cos \theta \cos \phi \hat{\theta} -\sin \phi \hat{\phi}) \\ + (\sin \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta \sin \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos \phi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi})(\sin \theta \sin \phi \hat{r} + \cos \theta \sin \phi \hat{\theta} +\cos \phi \hat{\phi}) \\ + (\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac {\sin \theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} )( \cos \theta \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta})$$
모두 정리해보면 된답니다. 참 쉽죠? 중간 과정은 생략하고 결과를 바로 써볼게요. 직접 전개해서 해 본 거니까 의심하실 필요는 없어요. 제발요
$$\nabla = \frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}$$
다이버전스랑 컬도 구하실 수가 있어요. 원통좌표계 때보다 약간 더 많은 끈기와 인내, 참을성과 용기, 그리고 자신감과 여유, 더 많은 맥주가 필요하긴 하죠. 라플라시안이나 한 번 구해보죠. 나아아아중에 수소 원자할 때 구면좌표계에서의 라플라시안이 필요해서 지금 한 번 해보려 해요. 이 파일을 참고했습니다. 라플라시안의 정의인 그래디언트의 다이버전스에서 시작해요.
$$\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla =( \frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}) \cdot (\frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi})$$
내적을 하나하나 떼 봐요.
$$\nabla^2 = \hat{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(\frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}) \\ + \hat{\theta} \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}(\frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}) \\ + \hat{\phi} \cdot \frac{1}{r \sin \phi}\frac{\partial}{\partial \phi}(\frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi})$$
이제 괄호 안의 것들을 각 항마다의 변수들 $r, \theta, \phi$로 미분해야돼요. 문제는 방향벡터도 미분해야된다는 거죠. 방향벡터 미분은 그림을 잘 그려보시면 이해하기 쉬워요. 예를 들어서, $\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \phi}$ 같으면, $\phi$가 조금 변했을 때, $\hat{\theta}$의 방향이 얼마나 변할지를 생각해보는 거죠.
$$\frac{\partial \hat{r}}{\partial r} = 0, ~\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial r} = 0, ~ \frac{\partial \hat{\phi}}{\partial r} = 0 \\ \frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta} = \hat{\theta}, ~\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \theta} = -\hat{r} , ~ \frac{\partial \hat{\phi}}{\partial \theta} = 0 \\ \frac{\partial \hat{r}}{\partial \phi} = \sin \theta \hat {\phi} , ~ \frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \phi} =\cos \theta \hat{\phi} ,~\frac{\partial \hat{\phi}}{\partial \phi} = -\hat{d} = -\sin\theta\hat{r}-\cos\theta\hat{\theta}$$
이제 저 식에서 미분항을 계산할 수 있습니다. 그러니까, 방향벡터랑 내적하기 전 말이죠. 시험삼아 첫번째 항을 적어볼까요?
$$\frac{\partial}{\partial r} (\frac {\partial}{\partial r} \hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}) \\ = (\frac{\partial ^2}{\partial r^2}\hat{r} +\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial \hat{r}}{\partial r})+( - \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r}\frac{\partial ^2}{\partial r \partial \theta}\hat{\theta}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial r} )\\ +(- \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}+ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial ^2}{\partial r \partial \phi}\hat{\phi}+\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial \hat{\phi}}{\partial r})$$
여기에다 위에서 구한 방향벡터의 미분 값들을 넣으면 돼요. 하나 더 희소식이 있는데, 저 위의 라플라시안 식에서, 이 항에다가 $\hat{r}$을 내적하죠? 현재 좌표계의 기저벡터 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi}$가 서로 직교하기 때문에, $\hat{r} \cdot \hat{r}$이 들어간 항을 제외하고는 모조리 0이 됩니다. 그래서 사실 생각해보면, 이 항에서 살아남는 건 제일 앞에있는 $\frac{\partial ^2}{\partial r^2}$밖에 없어요. 이렇게 마찬가지로 저 위의 라플라시안의 두, 세 번째 항을 모조리 계산해보면 이런 항들이 살아남습니다.
$$\nabla^2 = (\frac{\partial^2}{\partial r^2})+(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2})+(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}+ \frac{\cos \theta}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2})$$
라플라시안이 스칼라를 피연산항으로 해서 결과가 스칼라가 나온다고 했죠? 그래서 벡터항이 없는 순수한 미분 연산이 나왔습니다. 이제 여기서 $r$이 들어간 미분끼리, $\theta$가 들어간 미분끼리, $\phi$가 들어간 미분끼리 묶어봅시다.
$$\nabla ^2 =(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}) + (\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta ^2}+\frac{\cos \theta}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta})+(\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2})$$
물론 이렇게 놔둬도 라플라시안이다! 라 말할 수 있지만, 아래와 같이 예쁘게 정리할 수가 있어요.
$$\nabla ^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$$

# Closing

제가 이번 포스팅을 쓰면서 저장한 횟수는 적어도 6~70번은 넘을 거 같네요. 제가 프리뷰에서 말했듯이 이 짓거리는 인생을 살면서 두 번하면 안 될 그런 일이에요. 결과는 이런 곳을 찾아보면 바로 나오니까요. 그리고, 일반적으로 기저벡터 $\hat{e_1}$ 등을 정의해서 한 번에 유도하는 방법도 있는데요, 그걸 써서 설명하려니 다른 개념을 많이 가져와야되서 그냥 무식하게 식 전개를 해봤습니다. 일단 여기까지가 양자역학과는 직접 관계는 없지만, 여러 분야에서 널리 쓰이는 그런 배경 지식이었습니다. 특히나 이번 포스팅은 피인용지수를 높게 만들기 위한 계략 다음 포스팅에는 연산자 얘기를 다시 하겠지만요, 이제 처음에 봤던 식 $\hat{H} \Psi = \hat{E} \Psi$에서 쓰이는 연산자에 대한 언급을 시작하려합니다.

참고로, 저번 포스팅 클로징에서 얘기했듯이 이번 포스팅은 보강이었어요. 네. 그냥 그렇다고요. 하하