#2-2nd order ODE(1.homogeneous : constant coefficient)

잠깐! $\frac{dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!

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#어디까지 왔니?

잠깐! $\frac{dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!

2nd order ODE

2nd order ODE를 풀기 위해서는, 일단 homogeneous 한 ODE 부터 푼 다음 그 방법을 활용해서 non-homogeneous 한 ODE를 풀어나가야 합니다. 사실, 2nd order ODE 중에서도 풀 수 있는 것들이 한정되어있다보니 ㅠㅠㅠ 딱 두가지 특수한 케이스에 대해서만 살펴보게 됩니다. 1st order 와는 조금 다르죠?ㅠㅠ 그래서 포스팅도 꽤 일찍 끝날 예정입니다 이 분야는…ㅠㅠ

크게 우리가 배울 두 가지 케이스는,
1. 상수계수(상계수), constant coefficient
2. 오일러-코시, Euler-Cauchy

입니다. 각각에 대해서도 세 가지 경우가 나오구요! 조금 많고 복잡…..하다 보니 ㅠㅠㅠ 정신 차리고 따라오셔야 합니다.

# 오일러 정리

뜬금 없이 왠 오일러 정리냐구요?ㅋㅋ한번쯤은 들어보셨을 거에요.
$$e^{\pi i} +1 = 0$$
‘박사가 사랑한 수식’에서는, 수학에서 가장 근본이되는 다섯 가지 문자로 이루어진 아주 아름다운 수식이라고 극찬을 합니다. 하지만 우리에게는 그냥 이상한 식일뿐... 이것은 오일러의 정리에서 $\theta = \pi$ 로 치환한 식입니다. 오일러 정리는요,
$$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$
이렇게 이루어진 식입니다. 증명은 여기를 참고하시면 됩니다. 사실 봐도 모르겠어요...
앞으로 자연상수 e위에 복소수 $i$가 올라가는 일이 종종 발생할 겁니다. 그럴 때, 우리 취급하기 편하게 $\cos , \sin$ 함수로 고치는 작업을 하기 위한 기본이죠.

1. 상수계수(constant coefficient) 방정식

$$\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx}+by =0$$
아마 어떤 책에서는..
$$y''+ay'+by=0$$
이라고 쓰기도 할거에요 ㅋㅋ 아마 밑에걸 더 많이 쓰지 않나….여튼, $a, b$는 상수입니다. 즉, 앞에 붙어있는 것들이 전부 다 상수인 경우에 대한 방정식이죠.

수학자들이 착안한건,

• 미분했을 때 형태가 다 똑같은 함수가 만약 $y$라면, 전부 다 빼내서 묶어버리면 되지 않겠나! 그런데 만약 다 똑같은 함수 $y$가, 0이 되지도 않는 함수라면 정말 간단해질거야!

그런 좋은 함수가 바로 지수함수 $e^x$ 였습니다. 미분해도 똑같은 $e^x$고, $x$가 실수이기만 하면 $e^x >0$이 성립하니까요.
(+잡담 : Kreyzig 아저씨의 공학수학 13단원을 보면, 지수함수가 음수가 나오는 신비한 현상을 볼 수 있습니다. 지수함수에 복소수가 올라가면 얘기가 달라지거든요 ㅠ)
어쨌든, 지수함수 위에 실수를 올려놓은 꼴을 해라고 가정하고 풀어봤더니 해가 나오더라! 라는 겁니다. 그 함수의 형태는, $e^{\lambda x}$ 로 두고 풀어봅시다. $\lambda$는 상수로 두고요!
$$\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx}+by =0$$
$y$ 자리에 $e^{\lambda x}$ 를 대입하면,
$$(\lambda^2 + a\lambda +b)e^{\lambda x} =0$$
이제 $e^{\lambda x}$는 0이 될일이 없으니, 이 식만 남게 됩니다.
$$(\lambda^2 + a\lambda +b)=0$$
$\lambda$에 대한 이차 방정식이나왔죠? 이 이차 방정식을 특성방정식, characteristic equation이라고 부를겁니다.
이차 방정식의 해가 두 실근이 나오는 경우, 중근이 나오는 경우, 두 허근이 나오는 경우에 대해 결과가 조금씩 다릅니다. 세 가지 경우에 대해 각각 예를 들어 살펴봅시다.

#1-1. 두 실근을 갖는 경우

$$\frac{d^2 y}{dx^2} -5 \frac{dy}{dx}+6y =0$$
과 같은 ODE는, 특성방정식의 결과가
$$(\lambda^2 -5\lambda +6)=0$$
으로 나올겁니다. 좌변을 인수분해하면
$$(\lambda-2)(\lambda-3)=0$$
이니까, $\lambda_1 =2, \lambda_2 =3$의 해를 가지고, 다시 원래의 가정이었던 $e^{\lambda x}$에 집어넣어 봅시다.
$$y_1 = e^{2x} , y_2 = e^{3x}$$
네 그렇죠? 두 개의 기저, basis를 구했습니다. $y_1 / y_2$도 상수가 아니구요 물론! 그러니까 우리는 일반해를 이렇게 적어주면 됩니다.
$$y= c_1 e^{2x} + c_2 e^{3x}$$
끝! ㅋㅋ 두 실근을 가지기만 한다면 엄청 간단해지기 때문에, 깊게 고민하지 않고 이렇게만 적어주면 됩니다.
** 추가적으로, $c_1 , c_2$ 는 상수죠? 그러니까, 이차 ODE를 풀 때 상수를 구하기 위해서는 2개의 조건이 필요합니다. 즉, 예전에 말했던 IVP가 되기 위해서는 2개의 조건을 주어야 한다는 거! 기억하고 갑시다 ㅎㅎ

#1-2. 중근을 갖는 경우

$$\frac{d^2 y}{dx^2} -4 \frac{dy}{dx}+4y =0$$
이 경우, 특성방정식의 결과는
$$(\lambda^2 -4\lambda +4)=0$$
이고, 인수분해 결과는
$$(\lambda-2)^2=0$$
이니까, 하나의 해 밖에 구할 수 없게 됩니다. $\lambda_1 =2$ 끝!!! 그런데 우리에겐 구해야할 해가 하나 더 남아있는데, 어떻게 구해야 할까요…..

그렇죠! 기억을 더듬어, 저번 포스팅의 결과를 꺼내옵시다. 바로Reduction of order, 차수축소법이었습니다. 중요하다고 말했었죠~.~

일단 $y_1$ 을 구해보면, $y_1 = e^{2x}$로 구해질겁니다. 이것을 가지고, 차수축소법을 통해 $y_2$를 구해봅시다. $y_2 = u(x) e^{2x}$라고 놓고, 그대로 대입! 일단 일차, 이차 미분항을 구해보면,
$$\frac{dy_2}{dx} = \frac{du}{dx}e^{2x} + 2ue^{2x}$$
$$\frac{d^2 y_2}{dx^2} = \frac{d^2 u}{dx^2} e^{2x} + 4\frac{du}{dx} e^{2x} + 4ue^{2x}$$

이걸 그대로 원 방정식에 대입하면….!!!
$$\frac{d^2 y_2}{dx^2} -4 \frac{dy_2}{dx}+4y_2 =0$$
$$(\frac{d^2 u}{dx^2} e^{2x} + 4\frac{du}{dx} e^{2x} + 4ue^{2x}) - 4(\frac{du}{dx}e^{2x} + 2ue^{2x}) + 4ue^{2x} =0$$
빠르게 눈으로 정리해볼까요?ㅋㅋㅋ 대부분의 항이 다 지워지고 남는건 이거밖에 없을겁니다.
$$\frac{d^2 u}{dx^2} e^{2x} =0$$
그러니까,
$$\frac{d^2 u}{dx^2} =0$$
이걸 만족하는 함수 $u$를 구해야 할텐데, 가장 간단하게 생각할 수 있는 함수는 $u(x) = x$ 입니다. 그러니까, $y_2 = xe^{2x}$ 라는 결과를 얻을 수 있겠죠! 최종으로 정리해주면,
$$y = e^{2x} ( c_1 + c_2 x )$$
마찬가지로, $c_1 , c_2$ 를 구하려면 조건이 두 개가 필요하다는 것!

#1-3. 두 허근을 가질 경우

• 2015.10.18 수정 : 댓글로 <공수>님이 지적해주셔서, 틀린 내용을 고쳤습니다. $x$가 있었어야 하는데, 그걸 빼먹고 그냥 써버렸네요…ㅠㅠ 수정 완료하였구요, 지적해주신 부분 감사드립니다!

  $$\frac{d^2 y}{dx^2} -2 \frac{dy}{dx}+2y =0$$
  네 익숙해 졌을겁니다. 특성방정식은 :
  $$(\lambda^2 -2\lambda +2)=0$$
  근의 공식을 쓰거나, 인수분해를 해서 구한 두 해는
  $$\lambda_1 = 1 +i , \lambda_2 = 1-i$$
  입니다. 이걸 그대로 지수함수 위에 올려버리면,
  $$y_1 = e^{(1+i)x} , y_2 = e^{(1-i)x}$$
  입니다. 지수함수의 $i$제곱이라는게 실감이 나지 않았던 수학자들은, 오일러의 정리로 이것을 정리 하기 시작합니다. 대체 왜….
  $$e^x e^{ix} = e^x(\cos x + i \sin x) \\ e^x e^{-ix} = e^x(\cos(-x) + i \sin(-x))$$
  그리고 나서 항상 해왔던것 처럼 정리를 해주면,(+$\cos , \sin$ 안에 있는 마이너스도 빼내주면)
  $$y = c_1e^x(\cos x + i \sin x) + c_2 e^x(\cos x - i \sin x)$$
  그런데 뭔가 상수끼리 복소수가 섞여 있어서 표현하는데에 껄끄럽다고 생각이 들었는지, 실수가 붙어있는 $\cos$ 항과 허수가 붙어있는 $\sin$ 항을 따로 분리시켜서 정리를 해주게 됩니다.
  $$y= (c_1 e^x +c_2 e^x ) \cos x + (c_1 e^x -c_2 e^x ) i \sin x$$
  $e^x$는 공통 항이니 통째로 앞으로 빼버리고, 그리고 남아있는 상수들을 다시 정리해서 최종 결과를 얻읍시다.
  $$y= e^x \left( A \cos x + B \sin x \right)$$
  이렇게 끝! 여담으로, B는 허수고 A는 실수입니다. ㅋㅋㅋ

정리

ㅋㅋㅋ 정신없나요? 세 가지 상계수(constant coefficient) 2nd order ODE 를 살펴봤습니다.

1. 첫번째 : 특성방정식이 두 실근을 갖는 경우
   $$\frac{d^2 y}{dx^2} -5 \frac{dy}{dx}+6y =0$$
2. 두번째 : 특성방정식이 중근을 갖는 경우
   $$\frac{d^2 y}{dx^2} -4 \frac{dy}{dx}+4y =0$$
3. 세번째 : 특성방정식이 허근을 갖는 경우
   $$\frac{d^2 y}{dx^2} -2 \frac{dy}{dx}+2y =0$$

각각의 경우를 어떻게 푸는지 잘 머릿속에 넣어두고, 다음 포스팅에서 볼 오일러-코시 방정식을 익혀봅시다. 상계수 방정식을 잘 해두었다면, 크게 다른 점은 없을 겁니다ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ