입문자를 위한 유체역학 - Introduction (1)

안녕하세요~ 반가워요~
유체역학을 주제로 글을 연재하게 될 공우 8기 이상민이라고 해요. 저는 기계항공공학을 전공하고 있고, 온라인상에서는 푸른허밍버드라는 닉네임으로 활동하고 있어요. 앞으로 여러 시리즈의 글을 통해 유체역학을 처음 배우는 학부생이 볼 만한 기초적인 내용부터 대학원생들이 보는 전문적인 연구 주제들에 해당하는 내용까지 폭넓게 아우르는 지식을 나누어볼 생각이에요. 거창한 목표죠? 물론 그걸 위해서 저도 열심히 공부할 거예요.

첫 번째 시리즈인 「입문자를 위한 유체역학」에서는 다음과 같은 방향에 초점을 맞추어 글을 쓰려고 해요.

• 유체역학에서 기초적이고 중요한 의미를 가지는 내용을 중심으로
• 복잡한 수학적인 개념이나 성질을 최소화하고
• 이해하기 쉽게

교재로는 Frank M. White의 Fluid Mechanics, 7th edition을 중점적으로 참고하여 포스팅할 생각이에요. 다만 이 책은 유체역학의 전반적인 분야에 대한 내용을 폭넓게 다루고 있어 처음 배우는 사람들에게 내용을 전개하는 방식이 체계적이지 않고 뒤죽박죽이라는 인상을 줄 수 있어요. 그래서 이 책의 구성 방식을 따라가되 불필요한 내용은 생략하고 이해하기 쉽도록 내용의 순서를 바꾸기도 할게요.

커리큘럼 상 유체역학은 고체역학, 열역학, 동역학 등에 속하는 개념을 복합적으로 활용하는 첫 번째 분야이면서 수학적인 지식도 어느 정도 필요로 하기 때문에 처음 배우는 입장에서는 어렵게 느껴질 수 있어요. 혹시라도 글을 따라오면서 명확하게 와 닿지 않거나 어렵게 느껴지는 부분이 있다면 질문은 언제라도 환영이에요!

# 포스팅의 순서

대략적으로 다음과 같은 순서에 따라 포스팅할 생각이에요.

• [1] Introduction
  유체의 여러 가지 특성과 유체역학 문제를 해결하는 기본적인 관점에 대해 살펴볼 거예요.

• [2] Integral Relations for a Control Volume
  유체역학 문제를 해결하는 세 가지 관점 중 control volume을 이용한 접근 방식을 다룰 거예요.

• [3] Differential Relations for Fluid Flow
  유체역학 문제를 해결하는 세 가지 관점 중 infinitesimal volume을 이용한 접근 방식을 다룰 거예요.

• [4] Dimensional Analysis and Similarity
  유체역학 문제를 해결하는 세 가지 관점 중 experiment에서 얻은 데이터를 이용하는 접근 방식을 다룰 거예요.

• [5] Viscous Flow in Ducts
  유체역학의 여러 가지 문제 중 관 내부에서 흐르는 유동을 해석할 거예요.

• [6] Flow Past Immersed Bodies
  유체역학의 여러 가지 문제 중 유체 속에 있는 물체 주위로 흘러가는 유동을 해석할 거예요.

어려운 내용은 없어 보이죠? 유체역학의 세계로 발을 들여놓기에 충분히 간단해 보이네요!

[1] Introduction

# 유체역학은 무엇을 배우는 학문인가?

유체역학에서는 유체의 운동으로 인해 일어나는 여러 현상에 관심이 있어요. 여기서 유체의 운동은 크게 두 가지로 구분할 수 있어요.

• internal flow : 관을 흐르는 유동과 같이 공간적인 제약 하에서 일어나는 유체의 흐름
• external flow : 항공기 주위의 유동 또는 선박 주위의 유동과 같이 유체 안에 물체가 잠겨있을 때 일어나는 유체의 흐름

우리는 이와 같이 유체의 운동이 일어날 때, 유체가 주변의 물체에 얼마만큼의 힘을 가하는지 또는 얼마만큼의 에너지를 교환하는지 등과 같은 현상에 관심이 있어요. 그리고 이러한 현상을 분석하기 위해서는 먼저 유체의 운동 상태 또는 열역학적 상태를 나타내는 여러 물리량들의 값과 그 값의 분포를 구하는 것이 필요해요. 이론만으로도 정확한 결과를 예측할 수 있다면 더할 나위 없이 좋을 것이고, 그렇지 않은 경우에 대해서는 실험적으로 접근할 필요도 있겠죠?

이론적인 측면에서 살펴보면 유체역학의 내용은

• 유체의 운동 상태 또는 열역학적 상태를 나타내는 물리량을 정의하고
• 이들 사이의 관계를 기술하는 방정식을 이끌어내고
• 그렇게 얻은 방정식을 풀어 각 물리량의 값과 그 값의 분포를 구하고
• 이를 바탕으로 여러 가지 유체 현상을 해석

하는 것으로 요약할 수 있어요. 유체의 상태를 나타내는 물리량에 대해서는 이번 포스팅에서 간단하게 살펴볼게요. 그런 뒤 이어지는 포스팅에서는 각 물리량 사이의 관계를 이끌어내는 방법으로 크게 두 가지 측면에서의 접근법을 살펴볼 거예요. integral analysis와 differential analysis가 그것이에요.

한편, 실험적인 측면에서 살펴보면 유체역학의 내용은

• 경제적이고 실현 가능하며 원하는 결과를 얻을 수 있는 실험을 설계하고
• 실험에서 얻은 결과를 해석하고
• 이를 바탕으로 유체 현상을 해석하는 도구를 갖추는 것

으로 요약할 수 있어요. 이에 대해서는 dimensional analysis 부분에서 간단히 다룰게요.

#연속체로서 유체

여기에서 다루게 될 모든 이론적 내용의 바탕에 깔려있는 가정이 하나 있어요. 유체를 연속체(continuum)로서 다루겠다는 것이에요. 이것이 어떤 의미인지 밀도라는 물리량의 예를 통해 살펴보도록 할게요.

다들 아시다시피 밀도는 단위 부피에 들어있는 물질의 질량이 얼마나 많은가를 측정하기 위한 척도예요. 어떤 공간의 부피를 $\delta V$ 라 하고 이 공간에 들어있는 물질의 질량을 $\delta m$ 이라 하면 이 공간의 밀도를
$$\rho=\frac{\delta m}{\delta V}$$
와 같이 계산할 수 있어요.
그런데 여기에서 고려하는 공간의 부피가 분자 수준의 스케일로 작아지면 문제가 발생해요. 기체의 경우 분자들 사이의 거리는 분자 자체의 지름에 비해 훨씬 큰 값을 가져요. 대부분의 공간은 질량을 가진 물질이 존재하지 않는 빈 공간이라는 뜻이죠. 따라서 어떤 곳에서 밀도를 계산하느냐에 따라 그 값이 크게 달라질 수 있어요. 그뿐만 아니라 기체를 이루는 분자들은 끊임없이 운동하고 있기 때문에 같은 곳에서 밀도를 계산하더라도 밀도가 시시각각 큰 폭으로 변하는 문제가 생겨요.
그렇다고 위에서 고려하는 공간의 크기를 무한정 크게만 할 수도 없어요. 질량가 밀집되어 있는지 그렇지 않은지를 측정하기 위한 척도로 밀도의 개념을 정의하려는 것인데 공간의 크기가 너무 커져버리면 질량의 분포를 제대로 반영하지 못하기 때문이죠.
그래서 다음과 같은 조건을 만족하는 크기의 공간을 생각하기로 해요.

• 개별적인 분자들의 위치나 운동에 의해 밀도의 값이 크게 변하지 않을 정도로 충분히 큰 크기
• 설정한 공간 내에서 분자들의 분포가 균일하다고 말할 수 있을 정도로 충분히 작은 크기

이 공간의 부피를 $\delta V'$ 라고 표시할게요. 그러면 유체의 밀도를 다음과 같이 정의할 수 있어요.
$$\rho=\lim_{\delta V \rightarrow \delta V'}\frac{\delta m}{\delta V}$$
만약 위에서 고려한 공간의 크기 $\delta V'$ 이 우리가 관심을 가지는 유체 현상이 일어나는 공간의 크기에 비해 훨씬 작다면 이렇게 구한 밀도를 특정한 공간이 아닌 특정한 점에서의 밀도라고 생각할 수 있겠죠? 뿐만 아니라 위치를 조금씩 옮겨감에 따라 계산한 밀도의 값도 연속적으로 변할 거라고 생각할 수 있어요. 이게 유체를 연속체(continuum)로 본다는 뜻이에요.

일반적으로 유체가 연속체라는 것은 유체의 특성을 나타내는 물리량에 대해서

• 유체를 이루는 각 점마다 그 물리량의 값이 결정된다.
• 이 물리량의 값은 공간적 또는 시간적인 측면에서 연속적으로 변한다.

는 뜻이에요.

실제로 일상적인 수준에서 일어나는 모든 유체 현상의 스케일은 유체를 연속체로 보기에 충분히 커요. 그렇기 때문에 여기에서도 유체를 연속체로서 다룰 수 있는 거예요. 이 점을 기억하기로 해요.

# 속도와 가속도

유체를 이루는 각 점의 운동 상태를 나타내는 물리량으로 속도와 가속도를 생각할 수 있어요. 속도는 벡터량이니까 공간에서는 $3$ 개의 성분을 가지겠죠? 편의상 세 개의 문자 $u,v,w$ 를 이용해 각 점에서의 속도 벡터 $\vec{v}$ 를
$$\vec{v}=\left( u,v,w \right)$$
와 같이 나타낼 수 있어요. 여기에서 속도 벡터는 유체를 이루는 각 점마다 다른 값을 가질 수 있어요. 그리고 관심의 대상을 하나의 점으로 고정하더라도 시간에 지남에 따라 그 점에서의 속도가 변할 수 있어요. 따라서 속도 벡터를 이루는 각 성분은 모두 그 점의 위치 $x, y, z$ 에 대한 함수이자 시각 $t$ 에 대한 함수이기도 해요. 이 점을 수학적으로 강조하려는 목적으로
$$u=u \left(x,y,z,t \right) \\ v=v \left(x,y,z,t \right) \\ w=w \left(x,y,z,t \right)$$
와 같이 표현해요.

유체의 속도 분포를 구하는 일은 유체역학 문제를 해결하는 과정에서 핵심적인 부분이에요. 일단 속도 분포를 구하고 나면 유체의 상태를 나타내는 다른 물리량 값들의 분포를 이로부터 이끌어낼 수 있기 때문이에요.

한편 유체를 이루는 한 점의 가속도 $\vec{a}$ 는 다음과 같이 속도 벡터를 시각에 대하여 미분해서 얻을 수 있어요.
$$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\left( \frac{du}{dt}, \frac{dv}{dt}, \frac{dw}{dt} \right)$$
$u=u \left(x,y,z,t \right)$ 이므로 미적분학에서 배우는 다변수함수의 연쇄법칙을 활용해서
$$\begin{eqnarray} \frac{du}{dt}&=&\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{dz}{dt}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{dt}{dt} \\ &=& u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t} \end{eqnarray}$$
와 같이 정리할 수 있어요. $v,w$ 성분에 대해서도 동일한 결과를 이끌어낼 수 있을 테니 벡터를 이용해서 하나의 식으로
$$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+u \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}+v \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}+w \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}$$
와 같이 표현할 수 있어요. 정말 그런지 꼭 한 번 종이에 직접 써서 확인해보시길 바라요!

# 열역학적 상태를 나타내는 물리량

유체의 운동 상태를 나타내는 물리량으로 속도와 가속도에 대해 간단히 살펴봤어요. 그런데 유체의 속도나 가속도는 그 유체의 열역학적 상태에 따라 변화할 수 있어요. 유체의 열역학적 상태를 나타내는 물리량으로 뭐가 있는지 나열해보죠.
가장 기본적인 것으로

• pressure $p$
• density $\rho$
• temperature $T$

의 세 가지가 있어요. 내용의 초반부에서는 이 중에서도 특히 유체의 압력 분포에 집중하게 될 거에요. 한편, 유체의 경계면에서 일이나 열과 같은 에너지 교환이 일어날 때에는 다음과 같은 물리량들도 중요해요.

• internal energy $u$
• enthalpy $h$
• entropy $s$
• specific heats $c_{p},c_{v}$

마찰에 의한 효과나 열전도에 의한 효과를 고려할 때에는

• coefficient of viscosity $\mu$
• thermal conductivity $k$

와 같은 물리량을 활용해요.

유체의 열역학적 특성에 대해 기억해두어야 할 사실이 두 가지 있어요.

• 열역학적 특성은 오로지 물질의 상태(state)에 의해서만 결정돼요. 그런데 single-phase pure substance의 경우 두 가지 열역학적 특성을 알면 상태를 결정하기에 충분해요. 따라서 이 경우 모든 열역학적 특성은 어느 두 가지 열역학적 특성에 대한 함수라고 생각할 수 있어요. 예를 들어,
  $$\rho=\rho \left(p, T \right),\: h=h \left(p,T \right),\: \mu=\mu \left(p,T \right),\: \cdots$$
  와 같이 나타낼 수 있는 거죠.
• 열역학적 특성은 유체를 이루는 각 점마다 정의되고 연속적인 성질을 가진다고 가정할 거예요. 예를 들어,
  $$\rho=\rho \left(x,y,z,t \right),\: \cdots$$
  인 연속함수가 존재한다고 가정하는 거죠.

대부분의 열역학적 특성은 이미 열역학 수업을 들으면서 본 적이 있을 테니, 여기에서는 점성(viscosity)에 대해서만 살펴보도록 할게요.

유체는 고체와 다르게 shear stress를 받으면 고정된 형태를 유지하지 못하고 지속적으로 변형이 일어나요. 예를 들어서 서로 다른 속도로 움직이는 두 개의 평행한 판 사이에 있는 유체에는 shear stress가 작용하고 그 결과 유체의 운동이 일어나게 돼요. 이 때 유체가 외부에서 가해지는 shear stress에 저항하는 정도를 표현하는 물리량이 점성이에요. 점성이 큰 유체라면 변형이 천천히 일어날 것이고 점성이 작은 유체라면 변형이 빠르게 일어나겠죠.
다들 고체역학에서 stress-strain 사이의 관계를 공부한 기억이 있을 거라 믿어요. 그런데 유체의 경우에는 변형의 정도가 일정한 수준에서 그치는 것이 아니므로 고체의 경우에서와 같은 관계식을 찾을 수는 없어요. 대신 이에 대응되는 비슷한 개념으로 stress-rate of strain 사이의 관계를 생각해요. 변형이 얼마나 일어나는지에 관심을 가지는 대신 변형이 얼마나 빠르게 일어나는지에 관심을 가지는 거죠. 고체역학에서와 마찬가지로 둘 사이의 관계를 수학적으로 해석하는 가장 기본적인 모델은 선형적인 관계식을 이용하는 거예요.
이와 관련하여 다음 세 가지 가정을 만족하는 유체를 Newtonian fluid라고 해요.

• shear stress-rate of shear strain의 관계가 선형적
• rate of shear strain의 값이 $0$ 이라면 shear stress의 값도 $0$
• shear stress-rate of shear strain의 관계가 isotropic

일반적인 경우의 shear stress-rate of shear strain은 나중에 살펴보기로 하고, 여기에서는 shear stress의 성분이 하나인 경우만 살펴보도록 할게요. 유체에 작용하는 shear stress를 $\tau$ 라 하고 유체의 shear strain rate를 $\frac{d \theta}{dt}$ 라 하면 이들 사이에 선형적인 관계가 있으므로 비례상수를 도입하여
$$\tau=\mu \frac{d \theta}{dt}$$
와 같이 표현할 수 있어요. 여기에서 $\mu$ 를 점성계수(viscosity coefficient)라 해요.

이제 다음 그림을 볼게요.

 

삼각비의 성질로부터
$$\tan d \theta=\frac{du\, dt}{dy}$$
라고 할 수 있어요. $d\theta$ 의 값이 작을 때는 $\tan d\theta \approx d\theta$ 이므로
$$d\theta=\frac{du\, dt}{dy}, \quad \frac{d\theta}{dt}=\frac{du}{dy} \quad \therefore \tau=\mu \frac{du}{dy}$$
이 식의 의미를 기억해두는 것이 좋아요.

위의 그림에서 $y$ 축 방향을 따라 각 점에서의 속도 성분 중 $x$ 방향 성분의 분포를 관찰할 때, $x$ 방향 성분의 크기가 변하는 정도가 크면 그 근처에서 shear stress의 값도 크고 $x$ 방향 성분의 크기가 변하는 정도가 작으면 그 점에서 shear stress의 값도 작다는 뜻이 돼요. 그러니까 위의 그림의 경우 벽 근처에서 shear stress의 값이 가장 크고 위쪽으로 갈수록 shear stress의 값이 작아지는 형태인 거죠.

점성도 열역학적 성질이에요. 오로지 물질의 상태에 의해서만 결정되는 성질이라는 거죠. 그래서 점성계수 $\mu$ 는 온도와 압력에 대한 함수 $\mu=\mu (p, T)$ 로 쓸 수 있어요.

# 열역학적 특성들 사이의 관계

한 열역학적 특성을 다른 특성들에 대한 함수로 생각할 수 있다는 얘기는 어쨌거나 이들 사이에 관계가 존재한다는 거죠. 그 관계를 state relation이라고 해요. 이상적인 기체와 액체의 경우에 활용할 수 있는 대표적인 state relation을 정리해볼게요.

(1) idealized gas
이상기체(perfect-gas)는 다음과 같은 관계식을 만족해요.

• $p=\rho RT$
• $du=c_{v}dT,\: dh=c_{p} dT$

여기에서 기체상수 $R=c_{p}-c_{v}$ 이고 $c_{v}=c_{v}(T),\: c_{p}=c_{p}(T)$ 이예요.
일반적으로 높은 온도와 낮은 압력 하에 있는 기체는 이상기체에 가까운 특성을 가지기 때문에 위의 관계식을 이용해서 상당히 정확한 결과를 얻을 수 있어요.

(2) idealized liquid
액체는 기체와 다르게 밀도가 열역학적 상태에 따라 크게 변하지 않고 비열도 대체로 일정한 값을 가진다는 특성이 있어요. 그래서 액체의 열역학적 특성은 다음과 같은 관계식으로 근사할 수 있어요.

• $\rho=\rm{const}$
• $c_{v}=c_{p}=\rm{const}$
• $dh=c_{p}dT$
  
  

# 유체와 고체 사이의 경계 조건

유체가 관 속을 흐를 때나 항공기의 날개 주위를 흘러갈 때처럼 유체의 흐름이 고체 표면에 의해 제한되는 경우가 있어요. 이 때, 유체는 분자들의 운동 때문에 고체 표면과 momentum equilibrium, thermal equilibrium을 이루게 돼요. 그 결과 다음과 같은 관계식이 성립해요.
$$\vec{v}_{\rm{fluid}}=\vec{v}_{\rm{wall}} ,\: T_{\rm{fluid}}=T_{\rm{wall}}$$
여기에서 첫 번째 조건을 no-slip condtion이라 하고, 두 번째 조건을 no-temperature-jump condition이라고 불러요.
위의 두 조건들처럼, 우리가 관심을 가지고 있는 대상과 그 나머지와의 경계에서 성립해야 하는 물리적 조건을 (특히 수학적인 형태로 표현한 경우에) 경계조건(boundary condition)이라고 해요. 유체역학 문제를 풀 때 적절한 경계조건을 설정하는 것은 역학적 법칙을 쓰는 것만큼이나 중요해요. 어떻게 활용하는지 예를 하나 살펴볼게요.

• 문제
  A flow is induced by two parallel plates. The lower plate is fixed and the upper plate is moving steadily at velocity $V$ , as shown in figure. The clearance between plates is $h$ , and the fluid is newtonian and does not slip at either plate. If the plates are large, this steady shearing motion will set up a velocity distribution $u(y)$ , as shown, with $v=w=0$ . The fluid acceleration is zero everywhere. With zero acceleration and assuming no pressure variation in the flow direction, it can be shown that the shear stress is constant throughout the fluid.
  Find the velocity profile $u(y)$ .

Newtonian fluid의 경우
$$\tau=\mu \frac{du}{dy}$$
가 성립한다고 했어요. 그런데 주어진 가정에 의해 viscous stress $\tau$ 의 값이 일정하므로
$$\frac{du}{dy}=\frac{\tau}{\mu}=\rm{const}$$
이예요. 그러면 $u(y)$ 를 $y$ 에 대한 일차함수로 표현할 수 있겠죠? 그런데 아래쪽 벽과 위쪽 벽에서 no-slip condition이 성립해야 하므로 두 조건
$$u(0)=0,\: u(h)=V$$
이 성립해요. 따라서
$$u(y)=V\frac{y}{h}$$
임을 알 수 있어요.

 

# 유체역학 문제에 대한 일반적인 접근 방식

마지막으로 유체 현상을 예측하거나 해석하는 일반적인 방법에 대해 언급하고 이번 포스팅을 끝낼게요. 다음과 같이 크게 세 가지 중의 하나로 요약할 수 있어요.

• control-volume을 이용한 integral analysis
• infinitesimal system을 이용한 differential analysis
• experimental study와 관련된 dimensional analysis

처음 두 가지 방식은 유체와 관련된 현상을 수학적으로 모델링하는 방법에 관한 것이고, 나머지 한 방식은 실험을 어떻게 설계하고 실험으로부터 얻은 결과를 어떻게 해석할지에 대한 것이에요.
어떤 경우든 유체가 몇 가지 기본적인 물리 법칙을 따른다고 가정하는 점은 동일해요. 그 법칙들을 나열해볼게요. 지금은 그냥 이런 게 있었지 라고 가볍게 읽고 넘어가면 돼요.

• mass conservation (continuity)
• momentum equation (Newton’s second law)
• energy conservation (first law of thermodynamics)
• state relations

그리고 여기에 더해 유체가 만족해야 하는 적절한 boundary condition까지 설정하면 유체역학 문제를 풀 준비가 다 된 거예요!

# 첫 번째 포스팅을 마치며

이 포스팅에서는 유체역학이 무엇을 하는 과목인지, 어떤 내용을 담고 있는지 살펴봤어요. 도입부인 만큼 어려운 내용은 별로 없었을 거예요. 다음 포스팅에서는 유체역학 문제를 해결하는 첫 번째 방법으로 integral analysis에 대해 살펴볼 계획이에요. 기대해주세요!

Written with StackEdit.