입문자를 위한 유체역학 - Integral Relations for a Control Volume (1)

[2] Integral Relations for a Control Volume (1)

저번 포스트에서 유체역학이 어떤 과목이고, 우리가 다루고자 하는 유체가 어떤 특성을 가지는지 간단하게 살펴봤습니다. 그 중에서 가장 마지막에 언급한 내용을 다시 정리해보도록 하죠. 유체 현상을 예측하거나 해석하는 방법을 크게 다음과 같은 세 가지 범주로 나눌 수 있다고 했었습니다.

• control-volume을 이용한 integral analysis
• infinitesimal volume을 이용한 differential analysis
• experimental study와 관련된 dimensional analysis

이번 포스트부터 integral analysis에 대해 다루도록 하겠습니다. integral analysis는 특정한 영역을 분석 대상으로 설정하고 그 안에서 일어나는 변화를 관찰하는 방법입니다. 유동의 구체적인 분포에 관심을 가지기보다는 그로 인해 발생하는 총체적인 효과에 관심을 가진다는 특징이 있죠.

먼저 기본적인 개념 두 가지를 살펴봅시다.

# system과 control volume

어떤 현상을 분석하려면 우선 그 분석의 대상을 설정할 필요가 있습니다. 그 대상이 특정한 양의 물질로 규정된다면 system이라고 하고, 특정한 경계 내의 공간으로 규정된다면 control volume이라고 합니다.

• system : 우리가 관심을 가지고 분석하려는 특정한 양의 물질
• control volume : 우리가 관심을 가지고 분석하려는 특정한 경계 내의 공간

유체역학이나 열역학에서는 control volume을 이용한 접근 방식이 많이 쓰입니다. 주로 system을 이용하는 고체역학 또는 동역학과 다른 점이라고 할 수 있습니다.

어떤 차이가 있는지 예를 들어보죠. 저는 항공 쪽을 공부하려는 사람이니까 비행기를 예로 들어볼게요.
비행기를 뜨게 하는 양력이 발생하려면 기본적으로 날개와 공기 사이에 상대적인 운동이 발생해야 합니다. 그러기 위해서는 비행기를 앞으로 나아가도록 하는 추력이 필요하겠죠. 엔진의 역할이 바로 이 추력을 발생시키는 것입니다. 엔진이 작동하는 과정에서 공기는 엔진의 앞쪽 부분을 통해 들어왔다가 뒤쪽 부분을 통해 나가게 돼요.
엔진에서 일어나는 현상을 분석한다고 해봐요. 두 가지 관점을 생각할 수 있어요. 엔진으로 들어오는 일정량의 공기의 입장에서 분석하는 방법 또는 공기를 받아들이는 엔진의 입장에서 분석하는 방법. 전자는 엔진으로 들어오는 일정량의 공기(system)를 분석의 대상으로 설정하고 이 공기의 움직임을 따라가면서 공기의 물리량이 어떻게 변화하는지 따져보는 방법입니다. 반면에 후자는 엔진 내부의 일정한 공간(control volume)을 분석의 대상으로 설정하고 공기가 들어오고 나감에 따라 이 공간에 어떤 변화가 일어나는지 따져보는 방법입니다.
그런데 엔진이 얼마나 많은 추력을 발생시킬 수 있는지 궁금한 공학자의 입장에서는 사실 엔진을 통과한 공기가 밥이 되든 죽이 되든 그 부분에는 관심이 없어요. 그보다는 엔진에 얼마나 많은 추력이 발생하고 엔진 내부의 상태가 어떻게 변하는지에 관심을 가지죠. 이런 경우라면 엔진 내부의 공간을 분석 대상으로 설정하는 것이 더 유용합니다. 만약 비행기 전체의 설계를 책임지는 입장이라면 엔진을 통과한 공기의 특성까지 고려해야겠지만, 이것은 분석의 범위를 어디까지로 설정하느냐의 문제이지 분석의 근본적인 성격 자체를 바꾸는 것은 아닙니다.

여기에서 우리가 해결해야 할 과제가 생겨요. 왜냐고요? 유체 현상을 분석할 때 뉴턴의 운동 법칙이나 열역학 법칙과 같은 물리 법칙을 활용하게 될 텐데, 이것들은 모두 일정한 양의 물질(system)에 대해 서술되는 법칙이거든요. 이것들을 일정한 경계 내의 공간(control volume)에 적용할 수 있는 것으로 바꾸어놓을 필요가 있어요.
그래서 이번 포스트에서는 유체 현상을 분석하는 데에 필요한 기본적인 물리 법칙을 가볍게 살펴보고, 이를 우리가 활용하기 편한 형태로 바꾸기 위한 준비를 할 거예요.

# 유체역학의 기본적인 물리 법칙

유체 현상을 분석할 때 활용하는 몇 가지 기본적인 물리 법칙을 정리해봅시다. 법칙의 내용 자체는 이미 다 배운 것이기 때문에 추가로 공부할 내용은 없고, 어떤 법칙을 활용하는지만 머릿속에 목록의 형태로 기억하면 됩니다.

(1) 질량 보존의 법칙(Conservation of mass)
핵반응으로 인한 질량-에너지 전환을 무시할 수 있다면 system의 질량이 보존되는 것이 당연하겠죠. 정의에 따라 우리가 관심을 가지는 ‘일정한 양’의 물질이 system이니까요! 수식으로 표현하면
$$m=\mathrm{const},\quad \frac{dm}{dt}=0$$
과 같이 쓸 수 있어요. 당연하지만 그럼에도 유체의 운동을 해석할 때 빠져서는 안 되는 조건입니다.

(2) 뉴턴의 운동 제2법칙(Newton’s second law)
일상적인 수준의 유체 현상에서는 상대론적 효과를 무시할 수 있으므로 system에 작용하는 알짜힘 $\vec{F}$ 와 system의 선운동량 $\vec{p}$ 사이에 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{dt}$$
또한 system의 질량중심에 대한 알짜모멘트 $\vec{M}$ 와 system의 질량중심에 대한 각운동량 $\vec{H}$ 사이에 다음과 같은 관계도 성립합니다.
$$\vec{M}=\frac{d \vec{H}}{dt}$$

(3) 열역학 제1법칙(The first law of thermodynamics)
외부에서 system에 $\delta Q$ 만큼의 열을 전달하고 system이 외부에 $\delta W$ 만큼의 일을 할 때, system의 에너지 변화량 $dE$ 는 다음과 같은 관계를 만족합니다.
$$dE=\delta Q-\delta W,\quad \frac{dE}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}$$
와 같이 쓸 수 있어요. 여기에서 $\dot{Q}$ 과 $\dot{W}$ 는 각각 단위 시간당 열 또는 일의 형태로 전달되는 에너지의 양을 의미합니다.

# Volume Rate of Flow, Mass Rate of Flow

유체가 흐를 때 주변에 얼마만큼의 힘을 가하는지 또는 주변과 얼마만큼의 에너지를 교환하는지 등과 같은 효과를 알고 싶을 때에는 유체를 이루는 입자 하나하나의 움직임을 파악하는 것뿐만 아니라 일정한 경계 내의 공간(control volume)에서 일어나는 물리량의 변화를 분석하는 것도 필요합니다.

control volume의 경우 경계면을 통해 외부와의 에너지 교환이나 질량 교환이 가능하다는 특성을 가지고 있어요. 외부에서 들어오는 물질은 질량, 운동량, 에너지를 동반하여 들어오고 외부로 나가는 물질은 질량, 운동량, 에너지를 동반하여 나가죠. 이는 control volume 내의 물리량을 변화시키는 요인이 됩니다. 구체적으로 얼마만큼 변화시키는지 설명하려면 volume rate of flow 및 mass rate of flow의 개념이 필요합니다.

• volume rate of flow : 단위 시간 동안 특정한 곡면(또는 평면)을 통과하는 유체의 부피
• mass rate of flow : 단위 시간 동안 특정한 곡면(또는 평면)을 통과하는 유체의 질량

그림과 같이 유체가 자유롭게 통과할 수 있는 가상의 곡면(또는 평면) $S$ 를 생각해볼게요.

 

곡면 $S$ 를 잘게 잘라 만든 elemental surface $dA$ 에 대하여 이 점에서의 곡면의 unit normal vector를 $\vec{n}$ , 유체의 속도를 $\vec{v}$ 라 할게요. 관습적으로 곡면의 normal vector의 방향은 곡면의 바깥쪽을 향하는 방향으로 설정합니다.
일반적으로 유체가 반드시 곡면에 수직한 방향으로 흐르지는 않으므로 유체의 운동 방향과 곡면이 이루는 각을 고려할 필요가 있어요. 두 벡터 $\vec{n}$ 와 $\vec{v}$ 사이의 각의 크기를 $\theta$ 라고 할게요.
유체가 $dt$ 만큼의 시간 동안 쓸고 지나가는 영역은 그림과 같이 밑면의 넓이가 $dA$ 이고 밑면에 수직한 방향으로의 높이가 $\left(\left| \vec{v} \right| dt\right) \cos \theta$ 인 기울어진 평행육면체입니다.

 

따라서 그 시간 동안 elemental surface $dA$ 를 통과한 유체의 부피를
$$\left(\left|\vec{v} \right| dt \right) \cos \theta\: dA=\left|\vec{v}\right|\cos\theta\:dA\:dt=\left(\vec{v}\cdot \vec{n}\right)dA\:dt$$ 와 같이 표현할 수 있어요.

그렇다면 elemental suface $dA$ 에 대한 volume rate of flow와 mass rate of flow를 각각 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $\rho$ 는 유체의 밀도를 뜻합니다.

$$\begin{eqnarray} \textrm{volume rate of flow}&=& \left(\vec{v}\cdot \vec{n} \right)dA \\ \textrm{mass rate of flow}&=& \rho\left(\vec{v}\cdot \vec{n} \right)dA \end{eqnarray}$$

위의 식들을 꼭 기억해두세요. 다음 포스트에서 쓰게 됩니다.

한편, 곡면 $S$ 전체에 대한 유체의 volume rate of flow, mass rate of flow는 각각을 면적분하여
$$\begin{eqnarray} \textrm{volume rate of flow}&=&\int_{S} \left(\vec{v}\cdot \vec{n} \right)dA \\ \textrm{mass rate of flow}&=&\int_{S} \rho\left(\vec{v}\cdot \vec{n} \right)dA \end{eqnarray}$$
와 같이 표현할 수 있습니다.

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