전력전자공학의 B: Buck Converter Analysis (1편)

 

전력전자공학의 A to E : [B] DC-DC Converter / DC Transformer (1편)

안녕하세요~ 후렌치파이입니다! 이번 게시물부터는 본격적으로 전력전자공학에서 사용되는 여러 가지 변환 회로의 topology에 대해서 알아보려고 합니다! B 파트에서는 DC 전원을 DC 전원으로 변환시키는 회로에 대해 다룰텐데요, 이런 변환 회로를 DC-DC Converter라고 통칭합니다. 그 중에서도 가장 기본이라고 할 수 있는 Buck Converter와 Boost Converter에 대해 1편에서 다뤄 보고, DC Transformer와 Topology의 응용을 2편에서 다룰 예정입니다! Buck, Boost, Buck-Boost Converter에 대해 하나씩 차근차근 알아보러 가 볼까요? ٩( ᐛ )و

▶ Buck Converter

Steady-State Analysis

Buck Converter 의 회로도는 위의 그림의 (a)와 같습니다. Buck Converter는 그림 (d)에서 보이듯 입력 전원($V_i$), 스위치($Q_1$), 인덕터($L$), 커패시터($C$), 다이오드($D_1$) 그리고 부하의 역할을 하는 저항($R$)으로 구성됩니다. 전력전자 회로의 목적은 Introduction에서 이야기했던 것처럼, 부하의 입맛에 맞게 입력 전압을 요리(?)해 주는 것입니다. 즉 위의 회로는 부하에 해당하는 저항 $R$ 양단에 걸리는 전압이 부하 전압 $V_o$가 되도록 작동해야 하는 것이죠!

스위치 S의 주기를 $T_s$라고 하면 스위치가 A 단자와 B 단자에 $T_s$마다 반복하여 연결됩니다. 이런 기능을 하는 스위치를 어떤 소자를 써서 모델링할 수 있을까요? A 파트에서 공부했던 트랜지스터가 능동 스위치 작용을 하고, 다이오드는 수동 스위치 소자로 사용될 수 있다고 했었던 것, 기억 나시죠?! 트랜지스터를 그림에서의 (d)와 같이 전원과 인덕터 사이에 연결하면, 트랜지스터가 ON 상태일 때는 (b)와 같이, OFF 상태일 때에는 전원과의 연결이 끊어지고 다이오드 $D_1$이 ON 되어 (c)와 같은 회로의 모습을 하게 됩니다. 이 때 트랜지스터 스위치의 Duty Ratio(듀티비)를 다음과 같이 정의합니다.

$$D=\frac{T_{on}}{T_s}$$
$$D^{\prime }=1-D=\frac{T_{off}}{T_s}$$
$$D+D^{\prime }=\frac{T_{on}+T_{off}}{T_s}=1$$

즉 트랜지스터 스위치는 $T_{on}=D{T}_s$ 동안 ON 되어 (b)와 같은 회로의 모양을 유지하다가, $T_{off}=D^{\prime }{T}_s$ 동안 OFF되어 (c)와 같은 회로의 모양을 유지하는 것을 매 주기마다 반복하게 되는 것이죠. ON Time인 (b)에서는 입력 전원의 전류가 인덕터에 공급되어 인덕터에 자기 에너지의 형태로 전력을 저장하고 커패시터에 저장되어 있던 전기 에너지가 부하에 전력을 공급합니다. OFF Time인 (c)에서는 입력 전원과의 연결은 끊어지고 인덕터에 저장되어 있던 자기 에너지가 다시 흘러 부하에 공급됩니다. ON, OFF Time에서 어떤 일이 일어나는지 좀 더 자세히 알아볼까요?

이 전력 변환 회로의 목적이 부하 $R$에 원하는 출력 전압 $V_o$를 공급하는 것이므로, 출력 전압과 출력 전류는 거의 일정하다고 가정합니다. Steady-State 상태에 있는 Buck Converter에서 Large-Signal DC 성분은 일정하고, Small-Signal 성분만 주기적으로 변동하게 됩니다. $V_i$는 입력 전원이므로 일정한 값이고, $V_o$도 부하 전압으로 일정하므로 변하는 것은 인덕터 전압 $v_L$과 전류 $i_L$임을 알 수 있네요! $T_{on}$일 때에는 인덕터 양단의 전압이 입력 전원 $V_i$와 부하 전압 $V_o$가 되므로 $v_L=V_i-V_o$가 되고, $T_{off}$일 때에는 입력 전원과의 연결이 끊어지고 인덕터의 왼쪽 단자가 접지와 연결되므로 $v_L=0-V_o=-V_o$가 됩니다. 이를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같이 되는 것이죠.

인덕터는 자성이 큰 물질로 만든 Core에 도선인 Coil을 감아 만든 소자입니다. 따라서 인덕터를 통과하는 자속을 $\varphi$ 라고 하면 전자기 유도에 의해 인덕터에 걸리는 전압의 식은 아래와 같이 나타납니다.
$$v_L=N\frac{d\varphi }{dt}$$
또한 인덕터를 통과하는 자속은 인덕터에 흐르는 전류와 다음 그래프와 같은 관계를 갖는데요, 인덕터 전류 $i_L$이 너무 커져서 Saturation이 일어나지 않는다면 $i_L$과 $\varphi$는 선형 관계를 갖습니다. 위의 식에서 자속과 인덕터 전류의 미소 변화량 $d\varphi$, $dt$을 $\Delta \varphi$, $\Delta t$로 바꾸고 좌변에 $\Delta \varphi$가 오도록 정리하면 아래와 같은 식으로 나타납니다.

$$\Delta {\varphi }_{inc}=|\frac{v_L}{N}\Delta t|=\frac{V_g-V_o}{N}{T}_{on}$$
$$\Delta {\varphi }_{dec}=|\frac{v_L}{N}\Delta t|=\frac{V_o}{N}{T}_{off}$$

트랜지스터 스위치가 ON 상태일 때에는 $v_L>0$이므로 $\Delta t=T_{on}$ 동안 $\Delta {\varphi }_{inc}$에 해당하는 만큼 인덕터의 자속이 증가합니다.
트랜지스터 스위치가 OFF 상태일 때에는 $v_L<0$이므로 $\Delta t=T_{off}$ 동안 $\Delta {\varphi }_{dec}$에 해당하는 만큼 인덕터의 자속이 감소합니다. 현재 회로의 Steady-State Analysis를 하고 있으므로, 인덕터도 Steay-state에 있습니다. 즉 $T_{on}+T_{off}$가 지나면 다시 처음 상태로 돌아가야 하는 것이죠. 그러려면 증가한 자속과 감소한 자속의 크기가 같아야 하는데요, 이것을 인덕터의 Flux (Volt-sec) Balance라고 합니다. Flux Balance를 적용하면 아래와 같은 식을 통해, 출력 전압과 입력 전압의 비 $\frac{V_o}{V_i}$는 Duty ratio $D$의 값으로 나타난다는 사실을 얻을 수 있습니다.
$$\Delta {\varphi }_{inc}=\Delta {\varphi }_{dec}$$
$$(V_g-V_o)T_{on}=V_o{T}_{off}$$
$$\therefore \frac{V_o}{V_g}=\frac{T_{on}}{T_s}\equiv D$$
출력 전압 $V_o$가 부하 전압으로 일정하다고 가정하여 $V_o/V_i$가 $D$와 같다는 것을 알아냈는데요, 거꾸로 생각하면 $D$값을 조절하면 $V_o=D{V}_g$로 원하는 출력 전압을 얻을 수 있습니다! $D$ 값을 조절하여 부하의 입맛에 맞게 $V_o$를 출력해내는 것이 바로 이 Buck Converter의 역할이라고 할 수 있겠죠? :D

이번에는 회로에 흐르는 각종 전류의 값이 어떻게 나타나는지 한 번 분석해 봅시다. 인덕터에 흐르는 전류 $i_L$은 인덕터 전압 $v_L$과 아래와 같은 관계식을 갖습니다.
$$v_L=L\frac{d{i}_L}{dt}$$

즉 인덕터의 전류 $i_L$은 $v_L$을 시간에 따라 적분한 값으로 나타나는데, 이를 그림으로 나타내면 위의 그림과 같이 나타납니다. $T_{on}$일 때는 $i_L$이 증가하여 저장되는 자기 에너지($\frac{1}{2}L{i}_L^2$)가 증가하고, $T_{off}$일 때는 $i_L$이 감소하여 자기 에너지를 부하 쪽으로 보내주는 것으로 생각할 수 있습니다.

그리고 아까 미소 변화량 $d$를 $\Delta$로 바꾸었던 것처럼, 이 식에서 $d{i}_L=\Delta i_L$, $dt=\Delta t$로 바꾸면 $\Delta i_L=\frac{1}{L}{v}_L\Delta t$가 되겠죠? $T_{on}$과 $T_{off}$에서의 인덕터 전류의 변화량 $\Delta i_L$의 관계식은 다음과 같이 나타납니다. $T_{on}$에서 $v_L=V_g-V_o$, $T_{off}$에서 $v_L=-V_o$였으므로 이를 대입한 것이죠!

$$ON:\Delta i_{L,inc}=\frac{V_g-V_o}{L}{T}_{on}$$
$$OFF:\Delta i_{L,dec}=-\frac{V_o}{L}{T}_{off}$$

Steady-state에 있는 인덕터에서 인덕터 전류의 값은 한 주기가 지나면 다시 원래대로 돌아와야 합니다. 즉 $\Delta i_{L,inc}+\Delta i_{Ldec}=0$이 되어야 하고, 이로부터 위에서 얻었던 식 $D=V_o/V_g$를 똑같이 얻어낼 수 있습니다!

인덕터 전류의 평균값 $I_L$은 인덕터의 오른쪽 단자가 항상 부하에 연결되고, 부하의 전압과 전류는 일정하다고 하였으므로 부하에 출력되는 출력 전류와 같습니다. 그리고 인덕터의 peak 전류는 평균 전류인 $I_L$에 ripple 값에 해당하는 $\frac{1}{2}{i}_L$이 더해진 값으로 나타나게 됩니다.
$$I_L=I_o=\frac{V_o}{R}$$
$$I_{L,peak}=I_L+\frac{1}{2}\Delta i_L$$

한편 트랜지스터 스위치에 흐르는 전류 $i_T$는 $T_{on}$동안에는 인덕터 전류 $i_L$이 흐르고, $T_{off}$ 동안에는 OFF 상태이므로 흐르는 전류가 0입니다. 반대로 다이오드에 흐르는 전류 $i_D$는 $T_{on}$ 동안에는 다이오드가 OFF 상태이므로 0이고, $T_{off}$ 동안에는 $i_L$이 흐르게 됩니다. 이를 나타내면 위의 그래프와 같습니다. 따라서 $i_T$와 $i_D$의 평균값 $I_T,I_D$는 아래와 같이 각각 인덕터 평균 전류값인 $I_L$에 $T_{on}/T_s$, $T_{off}/T_s$를 곱한 값으로 나타나게 됩니다. 덧붙여 전원에서 공급되는 전류 $I_g$는 트랜지스터 스위치 전류와 동일하므로 $I_g=I_T$라고 할 수 있겠죠?
$$I_T=D{I}_L=D{I}_o=I_g$$
$$I_D=D^{\prime }{I}_L=D^{\prime }{I}_o=I_L-I_T$$
$$\therefore D=\frac{V_o}{V_g}=\frac{I_g}{I_o}$$

여기서 주목할 만한 것은 $D$값에 의해 출력 전압과 입력 전압, 출력 전류와 입력 전류의 관계가 결정되며 $V_g{I}_g=V_o{I}_o$가 되어 입력 전력과 출력 전력이 동일하다는 사실입니다. 어떻게 이게 가능할까요? Buck Converter 회로에는 에너지를 소모하는 소자인 저항 $R$이 존재하지 않기 때문에(그림의 $R$은 부하를 나타내는 것으로, 변환 회로 내의 저항이 아닙니다!) 모든 소자가 이상적이라고 한다면 입력 전력과 출력 전력이 완전히 동일한 효율 100%의 회로가 되는 것이죠! 실제로는 도선이나 인덕터, 커패시터, 스위치에 존재하는 저항 성분 등으로 효율은 90~95% 정도가 되지만 그래도 상당히 높은 효율로 부하의 입맛에 맞게 전력을 전달하는 회로라고 할 수 있습니다.

또 한가지 아주 중요한 점은 Duty Ratio $D$는 0에서 1사이의 값을 갖기 때문에 Buck Converter 회로에서 출력되는 전압 $V_o=D{V}_g$는 입력 전압보다 커질 수 없다는 점입니다. 즉 Buck Converter는 전압을 감소시켜 전력을 공급하는 강압형 회로에만 사용될 수 있는 것이죠. 전압을 높이고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 전압을 높이는 승압형 회로의 대표주자가 바로 Boost Converter인데요, 원래 이 게시물에 다 담으려고 하였으나 글이 너무 길어지는 관계로… 다음 시간에 살펴보도록 하죠 ㅎㅎ 다음 시간인 B파트 2편에서는 Boost Converter의 Steady-State Analysis를 Buck Converter와 유사하게 해 보고, 3편에서 Buck 및 Boost의 Topology를 적용한 다양한 회로에 대해 간단하게 살펴보도록 하겠습니다! 질문이 있으시다면 언제든지 댓글로 남겨주세요~! 오늘 내용도 많은 도움이 되었기를 바라며, 그럼 다음에 또 만나요~! ٩(•̀ᴗ•́)و