전력전자공학의 A: 전자회로 맛보기 (2편)

전력전자공학의 A to E : [A] Diode / Transitor / Rectifier (2편)

안녕하세요! 후렌치파이입니다 ㅎㅎ 오늘은 저번 시간에 이어 회로에서 아주 중요한 개념인 Large-Signal 그리고 Small-Signal Model을 다이오드와 트랜지스터에서 어떻게 모델링하는지 알아보고 다이오드를 이용한 간단한 변환회로인 Rectifier Circuit에 대해 살펴보려고 합니다! 지난 시간인 A-1편에서 다루었던 다이오드 모델들과 트랜지스터의 I-V 관계식에 대해 잘 이해하고 계시면 충분히 따라오는 데 어렵지 않을 거에요~! 그럼 시작합니다! ٩( ᐛ )و

▶ Large-Signal and Small-Signal Model

Large Signal Model

BJT(Bipolar Juction Transistor)의 I-V 관계식은 아래와 같이 나타난다는 사실을 저번 시간에 공부해보았습니다. 이 식들은 모두 BJT가 on 상태, 즉 Forward-Active Region에 위치할 경우(npn transistor의 경우 $V_C>V_B>V_E$)에 성립한다는 사실, 기억하시나요? 다음 관계식을 조합하여 BJT의 Large-Signal Model을 나타낸 것이 위의 그림입니다. $V_{BE}$의 조건에 따라 Collector에 흐르는 전류 값이 결정되고, Collector 전류와 Base 전류의 합이 Emitter로 흐르는 것을 볼 수 있습니다.

$$V_{BE}+V_{CB}=V_{CE}......(1)$$
$$I_C+I_B=I_E......(2)$$
$$I_C=I_{S}exp(\frac{V_{BE}}{V_T})......(3)$$

한 마디로 Large-Signal Model이란, 특정한 전압/전류 조건에서 작동하는 회로 소자를 표현한 모델을 말합니다. 위의 예제를 예로 들어 설명해 보겠습니다. $V_{BE}=0.8V$에서 동작하는 BJT의 Collector 전류의 값은 $I_S=5\times 10^{-17}A$, Current Gain $\beta =100$이 주어진 경우 $V_T=26mV$를 식 (3)에 대입하여 $I_C=1.15mA$와 같이 얻을 수 있습니다. $\beta$ 값을 이용하면 Base 전류 $I_B=\frac{I_C}{\beta }=11.5\mu A$의 값도 얻어지고, 이를 식 (2)에 대입하면 $I_E=I_B+I_C=1.16mA$을 계산할 수 있습니다. 마지막으로 예제의 그림에서 저항 $R_L$에 걸리는 전압이 $V_{CC}-V_C=I_C{R}_L$이므로 $V_C=V_{CC}-I_C{R}_L=2-(1.15\times 10^{-3})(500)=1.42V$와 같이 계산하여, $V_B$보다 큰 값을 가져 BJT가 Forward Active Region에 있다는 가정이 맞다는 것을 확인해 볼 수 있겠습니다.

$I_S$는 소자마다 달라지는 고유 값이고, $V_T$는 상수에 해당하므로 $V_{BE}$가 결정되면 BJT의 Large-Signal Model에 의해 다른 전압/전류의 값들이 결정됩니다. 이러한 특정한 전압/전류 조건에서 회로가 동작하는 경우, 전압 전류의 큰 그림을 보았을 때의 전압/전류의 굵직한 값들을 Large-Signal 또는 Bias 값이라고 부릅니다. 또한 이처럼 특정 전압/전류 값에서 회로가 동작할 때 회로가 Biased 되었다고 표현하고, 이 전압/전류 값을 하나의 Bias Point 또는 Operating Point라고 부릅니다. 위의 예제에서 $V_{BE}=0.8V,I_C=1.15mA$와 같은 값이 $I_C=I_{S}exp\frac{V_{BE}}{V_T}$ 그래프 위의 한 점에 대응된다고 할 수 있는 것이죠!

Small Signal Model

Large-Signal Model이 회로 소자가 동작하는 굵직한 전압/전류 값들로 소자에서의 전압/전류 관계식을 나타낸 ‘Big Picture’ 에 해당했다면, Small-Signal Model은 특정 전압/전류 값이 정해졌을 때 그림의 ‘Magnified Version’ 이라고 할 수 있겠습니다. Small-Signal Model은 위의 그림과 같이 하나의 Operating Point에서 작은 input signal 변동에 대해 output signal이 변동하는 관계식을 선형 근사를 이용해 나타낸 것을 말합니다. 정확한 모델 식 (예를 들면 식 (3)과 같은) 을 두고 왜 선형 근사를 하는 걸까요? 만약 input signal의 변동이 복잡한 함수로 나타날 경우, 식 (3)과 같은 지수함수 모델 등에서는 output signal에서의 변동을 예측하기가 매우 어렵습니다. 따라서 식을 간결하게 만들어 input과 output에서의 변동의 전달을 쉽게 알아보기 위해 근사를 하는 것입니다.

그렇다면 선형 근사식은 어떻게 구할까요? 1st-order Taylor Series를 이용하여 나타냅니다. 다이오드의 예를 들어 보죠. 다이오드의 exponential model에서 다이오드 전류의 식은 다음과 다이오드 전압 $V_D$의 함수로 나타납니다.
$$I_D=I_S(exp\frac{V_D}{V_T}-1)\equiv f(V_D)......(4)$$
$$V_D=V_0+\Delta V_D......(5)$$
다이오드 전압에 변동 $\Delta V_D$가 존재한다면, 다이오드 전압은 식 (5)와 같이 Biase Point에서의 고정된 값인 $V_0$ 와 입력의 변동에 해당하는 $\Delta V_D$의 합으로 나타낼 수 있습니다. 만약 $\Delta V_D$가 충분히 작다면 $f(V_D)$는 아래와 같이 $V_0$ 근방에서 Taylor Expansion을 통해 나타낼 수 있습니다.
$$I_D=f(V_D)=f(V_0+\Delta V_D)\approx f(V_0)+\frac{f^{\prime }(V_0)}{1!}\Delta V_D+\frac{f^{\prime \prime }(V_0)}{2!}\Delta V_D......(6)$$
$$I_D=f(V_D)\approx f(V_0)+f^{\prime }(V_0)\Delta V_D.......(7)$$
$$\Delta I_D\approx f^{\prime }(V_0)\Delta V_D......(8)$$
$$where{f}^{\prime }(V_0)=\frac{\partial I_D}{\partial V_D}at{V}_D=V_0$$
선형 근사식을 써서 식을 간단하게 하는게 목적이고 변동 $\Delta V_D$가 충분히 작다고 가정하였으므로, 식 (6)에서 2차 이상의 항은 무시하면 식 (7)과 같이 나타낼 수 있습니다. 식 (4)로부터 $f(V_0)=I_S(exp\frac{V_0}{V_T}-1)$, $f^{\prime }(V_0)=I_{S}exp\frac{V_0}{V_T}$로, 현재 operating point 에서의 $V_D$의 Large Signal 값인 $V_0$가 주어진 값이므로 선형 근사식의 절편과 기울기는 operating point에 따라서 정해지는 상수 값입니다. 따라서 위의 그림에서 보이듯이, 특정 operating point에서의 다이오드 전압 변동 $\Delta V_D$는 그 크기가 충분히 작다면 출력인 $I_D$ 에 선형적으로 변동을 전달한다고 생각할 수 있습니다. 위 그림에서 $V_D=V(t)=V_0+V_p\cos \omega t$ 의 식을 따르므로 Small-Signal Model에서 선형 근사를 한 경우 식 (8)에 의해 $I_D$의 변동도 $\Delta V_D$에 비례하여 나타나는 것을 볼 수 있습니다. input, output에서의 작은 변동 성분은 앞으로 소문자를 써서 $i_d,v_d$와 같이 나타내고, operating point의 Bias 성분은 앞으로 대문자를 써서 $I_D,V_D$와 같이 나타내도록 하겠습니다!

그렇다면 BJT의 Small-Signal Model은 어떤 형태일까요? BJT에서의 전압, 전류의 관계식인 식 (3)으로부터 $I_C=f(V_{BE})=I_{S}exp\frac{V_{BE}}{V_T}$ 에서 입력은 $V_{BE}+v_{be}$, 출력은 $I_C+i_c$ 로 Bias 값과 small-signal로 나타낼 수 있습니다. 식 (9)를 이용해 input 변동($v_{be})$에 대한 output의 변동($i_c$)을 구해 보면 아래의 식과 같이 나타납니다.
$$f^{\prime }(V_{BE})=\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}=\frac{\partial }{\partial V_{BE}}(I_{S}exp\frac{V_{BE}}{V_T})=\frac{I_S}{V_T}exp\frac{V_{BE}}{V_T}=\frac{I_C}{V_T}......(10)$$
위의 식에서 입력 변동($\partial V_{BE}=v_{BE}$)에 대한 출력 변동($\partial I_C=i_C$)의 비율 $\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}$를 transconductance라고 정의합니다. 즉 transconductance $g_m$은 아래 식과 같이 나타나고, 입력 전압 변동에 대해 출력 전류의 변동의 gain에 해당하는 것이죠.
$$g_m=\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}=\frac{i_c}{v_{be}}......(11)$$

Small-Signal Model로 BJT를 모델링하는 경우 BJT의 등가 회로는 위의 그림처럼 나타낼 수 있습니다. $V_{BE}$에서의 작은 전압 변동인 $v_{be}$가 Base, Emitter 단자 사이에 걸릴 때, 출력 단자에 해당하는 Collector, Emitter 단자 사이에 흐르는 전류는 $v_{be}$에 transconductance $g_m$만큼이 곱해진 $i_C=g_m{v}_{be}$ 만큼 변화하는 것을 나타낸 것으로 이해하면 됩니다.

지금까지 Large-Signal Model과 Small-Signal Model이 무엇인지 알아보았습니다. Large-Signal Model은 회로의 큰 그림을 기술하는 I-V 관계식을 나타내는 등가 회로 모델에 해당하고, Small-Signal Model은 I-V 관계식 위의 한 점(operating point)을 확대하여 I, V 변동의 관계를 선형적으로 나타낸 등가 회로 모델을 말한다는 것, 이해가 잘 되시나요? 전압, 전류 뿐만 아니라 각종 물리량은 모두 Operating Point에서의 Bias 값과 Small-Signal 값의 합으로 나타낼 수 있습니다. 전력전자공학을 포함한 회로를 다루는 모든 분야에서 이와 같은 Large-Signal과 Small-Signal의 구분 및 Small-Signal로 취급해 선형 근사를 통해 작은 변동을 다루는 Skill은 매우 유용하게 쓰이니 잘 이해해 두시면 많은 도움이 될 거에요~! (ง˙∇˙)ว

▶ Rectifier Circuit

전자회로 맛보기 파트는 다이오드를 사용하여 교류 전압을 직류 전압으로 바꿔주는 회로인 Rectifier Circuit에 대해 간단하게 살펴보는 것으로 마무리를 하려고 합니다. 순서대로 Half-Wave Rectifier와 브릿지 회로를 사용한 Full-Wave Rectifier(Bridge Rectifier)에 대해 알아보겠습니다~!

Half-Wave Rectifier

위의 그림과 같은 회로에서, 출력 단자의 전압 $V_{out}$은 다이오드 $D_1$이 ON상태일 때에만 입력 전압 $V_{in}$과 같고, $D_1$이 OFF 상태라면 회로의 Ground에 연결되므로 $V_{out}=0$이 됩니다. $D_1$은 $V_{in}$이 양수인 경우 ON, 음수인 경우 OFF되므로 이를 그래프로 나타내면 아래와 같이 $V_{in}$의 양수인 부분만 $V_{out}$으로 출력되는 것을 볼 수 있습니다. 정현파(Sinusoidal) 입력 전원에 대해 출력 전압의 파형은 $V_{in}>0$인 절반만 출력되므로, 이와 같은 정류 회로를 Half-Wave Rectifier라고 부릅니다.

Half-Wave Rectifier의 가장 큰 단점은 나머지 절반의 시간 동안은 입력 전원을 이용하지 못한다는 점입니다. 이러한 문제는 다이오드를 브릿지 모양으로 연결하여 해결할 수 있는데요, 그렇게 만들어진 것이 바로 다음에 볼 Full-Wave Rectifier(Bridge Rectifier)입니다.

Full-Wave Rectifier (Bridge Rectifier)

위의 그림과 같이 다이오드 4개를 브릿지 모양으로 연결하면 $V_{in}$이 음수인 경우에도 $V_{out}$에 출력값이 나오도록 할 수 있습니다. $V_{in}>0$인 구간에서는 (a)에서 보이는 빨간색 경로를 따라 회로가 연결되므로 $V_{out}=V_{in}$이 되고, $V_{in}<0$인 구간에서는 초록색 경로를 따라 회로가 연결되어 $V_{out}=-V_{in}$이 됩니다. 즉 이 회로의 출력 전압과 입력 전압의 관계는 $V_{out}=|V_{in}|$와 같이 나타나는 것이죠. (a)의 회로를 보기 좋게 정리한 것이 (b)에 보이는 회로로, $V_{in}>0$인 경우 (d)와 같이 연결되어 $V_{out}=V_{in}$이 출력되고 $V_{in}<0$인 경우 ©와 같이 연결되어 $V_{out}=-V_{in}$이 출력되는 것을 알 수 있습니다.

이런 Half-Wave Rectifier 또는 Full-Wave Rectifier에 위의 그림과 같이 Capacitor를 연결하면 출력 전압을 훨씬 DC에 가깝게 만들 수 있습니다. Capacitor는 $V_{in}$의 크기가 감소할 때에 전압의 형태로 저장해 두었던 에너지를 출력 쪽에 흘려주어 $V_{out}$ 값에서의 time decay를 발생시키는 역할을 합니다. 각각의 Rectifier Circuit에서 $V_{out}$의 그래프를 비교한 것은 아래의 그림과 같습니다. Full-Wave Rectifier의 경우가 Half-Wave Rectifier의 경우에 비해 전압의 Ripple (변동 폭)이 작고, 다이오드에 걸리는 역전압이 절반 정도로 작은 것을 알 수 있습니다.

---

지금까지 회로에서 중요하게 쓰이는 Small-Signal Analysis에 대해 알아보고 Diode를 활용한 AC/DC 변환 장치인 Rectifier Circuit에 대해서도 함께 공부해 보았습니다~!

궁금한 점이 있으시면 댓글로 꼭 달아주세요! 다음 게시물부터는 본격적으로 (드디어) 전력전자공학에 대해 공부해 보려고 합니다. [B] 파트에 해당하는 DC/DC Converter와 DC Transformer에 대해 다룰 예정이니 다음 게시물도 재밌게 읽어주셨으면 좋겠습니다 ㅎㅎ 그럼 다음에 또 만나요~! ٩(•̀ᴗ•́)و