The 12-재료역학편 3/12

The 12 - 재료역학편 3/12

Stress & Strain

안녕하세요 stementor 구독자 여러분 반갑습니다 +_+
The 12 - 재료역학편 3/12 Stress & Strain 시작하겠습니다.

앞선 2/12에서 강도(Strength), 강성(stiffness), 안정성(stability)의 개념을 살펴보았습니다.
이번 The 12 - 재료역학편에서는 그 난이도상 안정성은 심도깊게 다루지는 못할 것 같습니다만,
강도와 강성은 이번 편의 전체라고 해도 과언이 아닙니다.^^

그렇다면 강도와 강성의 개념은 이해를 했으니 이제 이 강도와 강성을 어떻게 정량화하여 표시하는지 알아봐야겠죠? 그러기 위해서 우선 아래의 수식을 봅시다!

$$\sigma = \frac{P}{A} = \frac{힘}{면적}$$
$$\epsilon = \frac{\delta}{L}=\frac{길이변화량}{원래길이}$$

익숙하신 분들도 있을 텐데요. 어려운 개념은 아니지만 처음에는 헷갈릴 수 있으니 잘 짚고 넘어갑시다!
재료역학에서는 여러분들이 그동안 물리에서 친숙하게 사용했던 힘이라는 개념과는 조금 다른
$\sigma$ : Stress와 $\epsilon$ : Strain을 사용합니다.

그 정의는 위 수식과 같구요. 간단하게 말해서 Stress(응력)은 압력처럼 단위면적당 힘의 값입니다.
압력이 영어로 p ress ure 응력이 영어로 st ress 비슷하죠? 두 값은 당연히 단위가 같구요.
차이라 하면은 통용되는 방향이라고 이해하시면 될 것 같아요.

압력은 보통 단위면적당 압축력의 개념으로 많이 쓰이는 반면에 응력은 단위면적당 인장력의 개념으로 더 많이 사용된답니다. 2/12에서도 말씀 드렸지만, 보통 건설재료는 압축파괴가 많이 일어나지 않기 때문에 압력이라는 개념보다는 이 응력이라는 개념을 더 널리 사용하게 된 것이죠. 참 쉽죠?

그리고 Strain(변형률)은 더 쉽습니다. 그냥 원래길이 중 늘어난 길이의 비율이라고 생각하시면 됩니다.
설명을 읽으시면서 벌써 눈치채신분이 있으시겠지만 두 값 모두 인장력과 인장에 대하여 즉, 재료가 늘어나는 것에 대하여 (+) 부호를 갖도록 되어 있습니다. 더 많이 쓰이고 주가 되는 힘의 방향을 (+)로 설정하여 계산과 분석을 용이하게 하기 위함입니다.

자 그럼 이제, 이 Stress와 Strain을 이용해서 어떻게 강도와 강성을 나타낼까요?

이 것을 알아보기 위해서 우선 아래의 그래프를 봅시다!

그림 1 Stress-Strain diagram for a typical structure steel in tension (James M. Gere, Mechanics of Materials 7th Ed. pp. 19)

위 그래프를 우리는 Stress-Strain diagram이라고 부릅니다. 응력-변형률 선도라고도 부릅니다.
그래프의 x축이 stress, y축이 strain입니다. 앞으로 줄여서 SSD라고 부르겠습니다. (필자편의)
SSD는 인장시험을 통해서 얻어낸 그래프 입니다.

인장시험 즉, 재료시편을 수직으로 잡아당기는 시험입니다. 이때 잡아당기는 힘을 증가시키면서 재료시편의 stress와 strain을 측정하는 시험인데요, 그래프를 보시면 몇가지 흥미로운 변화가 관찰되는 지점이 있습니다.
그래프에도 잘 명시가 되어있지만, A, B, C, D, E의 총 5가지 지점입니다. 이 5가지의 지점들이 나타나는 이유는 이 5가지 지점에서 재료의 상태에 큰 변화가 나타나기 때문입니다. 선형특성이 사라지거나 아예 끊어져버리는 등의 변화이죠.

우리가 개념적으로 강도(Strength)라고 하면 어떤 재료가 끊어지거나 부서지는 힘의 크기라고 이해를 하죠? 그것을 역학적으로 풀어내기 위해서 재료의 상태에 극적인 변화를 일으키는 응력과 변형률을 찾아내고 위의 5가지 점들 중 하나를 그 강도로 생각하는 것입니다.

Note : 그럼 5가지 지점들을 살펴봅시다!

• A : proportional limit
  응력이 A를 넘어가지 않을 때에 재료는 선형탄성구간(linear elastic)에 있다고 합니다. 보통 선형과 탄성은 짝꿍으로 알고계시면 좋을것 같구요! 쉽게 말해 응력에 선형으로 비례해서 변형률이 증가하는 구간입니다.
  특별히 Proportional 이라는 말은 선형인데다가 그 비례상수(즉, 기울기)가 일정하다는 뜻 입니다.
  즉, A점은 재료가 Stress-strain 관계가 일정한 기울기의 선형을 유지하는 최대응력을 의미합니다.
• B : Yield stress
  A이상의 응력이 재료에 가해지면 점점 변형률이 급격하게 증가하게 됩니다. 즉 기울기가 점점 낮아지기 시작합니다. 이런 형상을 yielding이라고 부르고 항복이라고 합니다. 기울기는 점점 감소하다가 0에 도달하는데 이 지점이 B이고 이때의 응력을 yield stress라고 부릅니다. 이 구간을 perfectly plasticity(완전소성)이라고도 합니다.
  즉, 힘을 증가시키지 않아도 엿가락처럼 죽죽 재료가 늘어나는 상태입니다.
• C : Strain hardening
  완전히 재료가 끊어지는 것이 임박해지면, 재료의 결정구조에 변화가 생깁니다. 쉽게 생각해서 엿가락처럼 죽죽 늘어나다가 더이상 늘어날 수 없는 지경에 이르면 그 구조자체에 변화가 생기기 시작하는 것입니다. 그러면서 다시 저항이 시작되면서 기울기가 생겨납니다.
  변형에 저항이 생긴다는 의미에서 이를 Strain hardening 이라고 부릅니다.
• D : Ultimate stress
  Strain hardening이 지속되다가 이 마저도 특정 응력이상이 가해지면 항복하게 되고 이후에는 완전하게 파괴과정이 시작됩니다. 이때, 인장시험 중 최대응력이 기록되게 되는데 이때의 응력을 Ultimate stress라고 부릅니다.
• E : Fracture
  재료가 완전히 파괴되는 점을 의미합니다. 시편이 끊어지거나 부숴지면서 시험이 종료되고 이 지점을 E라고 합니다. 우리는 안전하게 설계하는 것을 목표로 하기 때문에 E지점까지 재료가 도달하게 해서는 절대로안됩니다. 따라서 이 지점의 정확한 값은 크게 중요하지 않습니다.

자 그러면 위의 5가지 지점들 중에서 어떤 지점을 강도로 사용할까요?

당연히 가장 큰 값이 될것입니다. 재료가 파괴에 이르기 전에 버틸 수 있는 가장 큰 응력이 강도가 됩니다.
그래프를 응력의 크기를 기준으로 살펴보면 크게 2가지의 턱이 있음을 알 수 있습니다.
첫 번째는 yield stress, 두 번째는 ultimate stress 입니다. 어찌 되었건 재료에 가해지는 응력이 yield stress를 넘지 못하면 재료는 소성구간에 들어가지 않게 됩니다. 마찬가지로 ultimate stress를 넘지 못하면 파괴로 진행되지도 않게 되죠. 그래서 우리는 재료의 강도(strength)로 이 두 응력을 사용합니다.
그래서 때로는 yield strength, ultimate strength라고 부르죠.

그렇다면 두 값 중에 어는 것을 사용하는 것이 좋을 까요?

목적에 따라서 차이가 있겠지만 보통 우리는 yield stress를 강도로 사용합니다.
2/12에서 brittle의 개념설명이 기억나시나요?
yield stress를 강도로 사용하는 것도 같은 이유입니다. 구조물을 설계함에 있어서, overload가 감지 되었을 때
사람을 대피시킬 수 있도록 하는 것이 매우 중요합니다.
이때, 어떤 건설재료에 yield stress가 가해지면 그 재료는 엿가락 처럼 늘어지기 시작합니다. 단, 아직 끊어지지는 않겠죠? 그럼 건물에 눈에 띄는 변형이 관찰되므로 그 즉시 사람들을 대피 시킬 수 있습니다.
따라서 실질적으로 ultimate stress로 설계하는 것이 큰 의미가 없게 되는 것 입니다.
우리는 yield stress에 도달하면 건물이 파괴되었다고 판단하기 때문입니다.
따라서 보편적인 상황 특히 SOC건설에서는 yield stress가 그 재료의 강도(Strength)가 됩니다.

그럼 Ultimate stress는 언제 사용하게 될까요?

무인 구조물에 주로 사용된다고 생각하시면 됩니다. 많은 토목구조물 중에서 사람이 상주하지 않는 것들이 있지요. 대표적으로 방파제와 같은 것이 있습니다. 이 것의 강도를 yield stress로 하는 것은 경제적이지 못합니다. 실제로는 ultimate stress까지 버틸 수는 있으니까요. 그래서 무인 구조물에는 ultimate stress를 사용하신다고 이해하시면 되겠습니다.

Additional context

인장시험에는 정적시험(Static test), 동적시험(Dynamic test)가 있는데, 잡아당기는 힘을 증가시킬 때 힘의 평형을 이룰수 있는 시간적 여유를 주면서 시험하는 것이 정적시험/ 반대로 시간적 여유없이 일정한 속도로 힘을 증가시키는 것이 동적시험입니다.

일반적으로 많은 대학의 재료역학 수업 실습실험에서는 동적시험을 합니다. 정적시험은 힘을 증가시킬 때마다 힘의 평형을 이룰 때 까지 기다려주어야 하지만 동적시험은 일정한 속도로 힘을 증가시키기 때문에 훨씬 금방 끝납니다. 물론 동적시험의 경우 힘의 평형을 이루기 전에 힘의 크기가 증가하기 때문에 정적시험을 통해 얻는 SSD와 그 형상이 달라지게 됩니다.

통몽’s Tip (재료역학 시간에 하는 실습 인장시험 레포트에 오차분석에 가장 큰 요인 2가지)

• 동적시험(Dynamic test) : 힘의 평형이 다 이루어지기 전에 더 큰 힘이 작용해버린다. 기계에서는 기계가 힘을 가한 시점의 변형률을 측정하여 데이터로 출력하기 때문에 본래 재료가 늘어날 수 있는 능력보다 더 적은수준의 변형률을 기록하게 된다. 힘의 평형이 다 이루어지기 전에 다음 크기의 힘이 가해지기 때문에 가해진 힘에 합당한 변형률이 모두 perform되기 전에 기록이 끝나버린다. 우리가 앞서 배운 이상적인 응력-변형률 선도의 형태는 정적시험을 통해 얻은 것이기 때문에 실험데이터는 다른 형상을 보이게 된다.
• 단면적의 감소 : 기계는 시간에 따라서 힘을 증가시키는데 여기서 기본 가정은 재료의 단면적의 넓이가 큰 변화가 없다는 것이다. 따라서 단면적의 값을 입력시켜놓으면 가해지는 힘을 초기 단면적으로 나누어서 응력으로 계산한다. 하지만 실제 실험에서는 인장과 동시에 단면적이 줄어드는 것을 관찰할 수 있다. 그래서 항복이 일어나는 구간에서 가해지는 힘이 오히려 떨어지는 것을 관찰할 수 있다. 그 이유는 yielding(perfect plasticity) 구간에서는 응력이 일정하게 유지되야하는데 단면적이 줄어들기 때문에 가해지는 힘이 오히려 감소하는 결과가 관찰되는 것이다.

이제 강도(strength)는 알겠어요! 그럼 강성(Stiffness)은요?

자 이제 강성에 대해서 알아봅시다! 2/12에서 개념적으로 배운 3가지의 단어들이 기억나시나요?
Stiffness, Brittle, Ductile 입니다. 이 단어들의 뜻을 개념적으로는 이해했는데요. 실제로는 어떤 것을 의미하는지 다시한번 SSD를 보면서 살펴봅시다.

우선, 가장 첫번째 Stiffness는 선형탄성(linear elastic)구간에 답이 있습니다! 강성이라는 것이 얼마나 뻣뻣하냐의 개념이었죠? 결국 얼마나 잘늘어나냐의 의미입니다. 보다 우리에게 친숙한 개념으로는 용수철의 탄성계수와 비슷한 개념이죠! (사실같은 개념이라고 보아도 무방합니다.) 그렇다면 SSD에서 이 것을 나타내는 것은 무엇일까요?

맞습니다! 선형탄성(linear elastic)구간의 기울기! 입니다. 앞서 Proportinal의 개념이 기억나시죠?
즉, 이 구간에서 기울기값은 일정하다는 것입니다 Constant!!! 이 개념을 수식화하여 설명한 사람이
Hooke 이고, 이를 Hooke’s Law라고 부릅니다.

$$\sigma = E\epsilon$$

여기서 E가 결국 Stiffness를 결정하는 요소가 되고 Modulus of elasticity 또는 Young’s Modulus 라고 부릅니다. Young이라는 사람이 찾았다나 모라나 우리는 이름만 제대로 알면 되니까요^^

Note :

• 사실 강성(Stiffness)를 결정짓는 것은 Modulus of elasticity 뿐은 아닙니다.
• 같은 재료에 같은 단면넓이를 가지고 있어도, 그 단면의 모양에 따라서 강성은 변하게 됩니다.
• 쉽게 말해서 얇은 직사각형 단면의 막대를 생각해봅시다. 얇은쪽으로 휘는 것이 두꺼운 쪽으로 휘는 것보다 훨씬 쉽겠죠? 즉, 강성은 단면의 형태에도 영향을 받는 것으로서, 재료 고유의 값은 아닙니다. (중요)
• 이번 편 중반부에 다루겠지만 이 단면의 형태를 나타내는 것이 바로 단면 2차 모멘트(Geometrical moment of inertia)입니다.
  알아두고 넘어갑시다^^

자 그럼, Brittle과 Ductile은 뭘까요?

바로 이 녀석들은 소성구간의 길이입니다. yielding (perfect plasticity) 구간의 길이가 길면 Ductile하다고 하고, 짧으면 Brittle하다고 하는 것 이지요. 물론 엄밀히 말하자면, Modulus of elasticity도 포함되어야 합니다.
즉, Ductile하다는 것은 위 SSD상에서 OC의 길이가 길다는 것이지요. 하지만 두가지 이유 때문에 오로지 BC의 길이를 Brittle과 Ductile을 나타내는데 사용합니다.

1) 보통의 구조재료들은 Modulus of Elasticity가 매우 크기때문에 OB의 길이가 OC의 길이에 비해 매우 작다.
2) Brittle vs Ductile이라는 용어가 의미상 구조물에 overload가 발생한 이후에 변형이 얼마나 일어나냐의 개념으로 사용되기 때문에 yield stress 이후의 구간의 길이를 기준으로 하는 것 입니다.

자 이제 좀 감이 잡히시나요?? ><

그럼 Stress & Strain은 이정도로 하겠습니다!
다음 포스팅때 poisson ratio & shear stress-strain 의 내용을 찾아뵙겠습니다.
The 12 - 재료역학편 4/12 에서 만나요!