The 12-재료역학편 4/12

The 12 - 재료역학편 4/12

poisson ratio & shear stress-strain

안녕하세요 stementor 구독자 여러분 반갑습니다 +_+
The 12 - 재료역학편 4/12 poisson ratio & shear stress-strain 시작하겠습니다.

우선 푸아송비에 대해서 알아볼게요.

사실 푸아송비는 개념도 쉽고 계산도 쉽습니다. 왜냐하면 우리가 실생활에서 익숙하게 경험하는 현상이기 때문인데요.

껌을 늘리거나 피자를 먹을 때 치즈가 늘어나는 것을 보면 점점 가늘어지는 것을 볼 수 있습니다. 

이게 바로 푸아송비와 관련한 현상입니다. 영어로는 Lateral Contraction 그냥 측면수축 그대로 입니다.
푸아송비를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

$$\nu = - \frac {lateral\;strain}{axial\;strain} = - \frac {\epsilon\;'}{\epsilon}$$

좀 더 학문적으로 서술해보자면 우리가 재료에 변형을 주기 위하여 힘을 가할 때, 그 힘에 수직한 방향에서 변형이 생기는 것을 의미합니다. 

우리가 보통 벡터공간에서 어떤 힘의 수직한 방향으로는 일이 0이라고 배우죠? 

쉽게 말해서 그 힘이 수직방향으로는 영향을 주지 못한다는 것인데 신기하게도 재료의 변형에서는 수직방향으로 그 힘이 영향을 미친 꼴이 되는 것 입니다.
(이렇게 설명하니까 조금 신기하죠?)

이런 현상이 일어나는 이유는 재료의 화학적 성질에 의거합니다. 여러가지 재료의 특성에 따라서 달라지지만 쉽게 설명하여 원자적 수준에서 원자간 인력에 의한 결과입니다.

그림 1 원자-스프링모델 (푸아송비 설명)

위 스프링모델로 원자모델을 단순화하여 표현했습니다.
스프링모델에서 대각성분의 스프링이 바로 측면수축을 일으키는 장본인이 되는 것입니다.
즉, 재료를 거시적 관점에서 물리학적으로 접근한다면 수직변형이기 때문에 이해하기 쉽지 않지만 미시적 관점에서 화학적으로 접근한다면 원자들간의 여러방향으로 영향을 주고 있는 인력에 의해서 수직변형이 발생하는 것입니다.

이제 이해가 되셨지요?

그럼 푸아송비에 관한건 거의 모두 이해하셨다고 봐도 무방합니다.
그외 계산은 위 식에 대입하여 하면 됩니다^^

다만, 주의할 것과 알아두어야 할 용어가 몇가지 있습니다.

Note :

• 푸아송비는 재료의 특성이기 때문에 상수값이기는 하나 이는 아래 3가지 조건을 만족할때 유효
• linear Elastic
  비선형구간에서는 탄성력에 변화가 생기기 때문에 그 비율이 변화합니다. 이때 우리는 Contraction Ratio라고 부릅니다.
• homogeneous
  비균질한 재료에서는 탄성계수가 일정하지 않아서 푸아송비도 균일하지 못합니다.
• Isotropic
  탄성계수가 재료의 방향에 따라서 서로 다르다면 푸아송비 역시 균일하지 못하겠죠? 때문에 등방성이 요구됩니다.
• 일반적으로 위 조건을 만족할 때 압축과 인장에 대하여 동일한 푸아송비를 사용

자 그러면 Shear stress & strain에 대하여 알아봅시다.

구조재료에는 지금까지 우리가 다루었던 것과 같은 축방향 힘(축력)외에도 축에 수직인 전단력이 작용하게 됩니다. 이는 재료를 옆으로 자르는 효과가 있는 힘으로 이해할 수 있습니다.

그림 2 전단력과 전단변형 (James M. Gere, Mechanics of Materials 7th Ed.)

축력에 의한 stress&strain과 전단력에 의한 shear stress&strain의 가장 큰 차이는 재료에 어떤 변화를 일으키냐 입니다. 앞서 3/12에서 배운 stress와 strain은 축력이 재료에 길이변화를 발생시켰습니다.
$$\sigma = \frac{P}{A} = \frac{힘}{면적}$$
$$\epsilon = \frac{\delta}{L}=\frac{길이변화량}{원래길이}$$
그렇다면 전단력은 우선 재료에 길이변화를 일으키는 힘은 아니겠죠?

어떤 재료에 축방향과 전단방향을 정의하는 것에 대한 정의는 뒷단원에서 보다 정확하게 배우겠지만 결국 길이변화를 일으키는 방향은 축방향과 푸아송효과에 의해서 그 축방향에 수직한 방향이 됩니다.

그럼 이 두 방향에서 90도를 회전한 방향들에서는 길이의 변화가 일어나지는 않지만 우리가 이해했듯이 단면이 잘리는 듯한 변형이 관찰됩니다. 이 변화는 앞서 푸아송비를 설명할 때 사용한 스프링모델을 살펴보면 쉽게 이해할 수 있습니다. 축방향에 수직한 방향으로 가해지는 힘은 그림처럼 재료를 옆으로 미는 힘이 되고 이 힘은 재료결정의 모양을 변형시킵니다. 직사각형에서 평행사변형으로 단면이 변화되는 것을 관찰하실 수 있습니다.

   

그림 2 Shear strain (James M. Gere, Mechanics of Materials 7th Ed.)

바로 이 변형이 전단력에서의 변형이며 우리는 이 변형을 각의 변화로 표현합니다.
아래 그림과 같이 단면의 각의 변화값을 $\gamma$로 표현하게 되고 이 값을 바로 Shear strain으로 사용합니다. (strain과 조금 다른부분이니 잘 체크합시다.)

그렇다면 Shear stress는 어떻게 될까요? 축력에 의한 stress와 개념자체는 같기 때문에 힘이 작용하는 면적으로 나누어진 값의 형태를 띠게 됩니다. 다만, 그 힘이 전단력이기 때문에 전단력이 작용하는 면적으로 나누어주어야 겠죠? 그 면적은 바로 전단력에 의해서 잘리는 면이라고 생각하면 쉽습니다.
전단력의 작용으로 인해서 변형이 일어나는 면이지만 이렇게 이해하면 시험볼 때 헷갈릴 수 있으니,
전단력으로 재료가 잘리게 되었을 때 잘리는 면! 즉, 잘리게 되면서 드러나는 면이라고 생각하시면
좋습니다! Shaer stress는 $\tau$라고 표기하며, 전단력을 V라고 표현하게 됩니다.

이제 Shear stress&strain을 정리해 보면,
$$\tau = \frac{V}{A} = \frac{힘}{면적}$$
$$\gamma = 단면의\;각\;변화량$$
$$\tau = G\gamma$$

전단력과 전단변형은 다소 헷갈릴 수 있는 개념이니 그림도 많이보고 직접 지우개에 손으로 전단력을 주어가면서 이해해보시기를 추천합니다. 문제를 풀어보는 것도 많은 도움이 됩니다^^

지금까지는 전단력과 축력에 의한 stress와 strain을 구분하여 이해해보았습니다. 하지만 실제로 구조물을 설계할 때는 전단과 축력의 구분없이 여러방향의 힘이 구조재료에 작용하게 되고 결국 전단변형과 축변형은 동시에 일어납니다. 우리는 구조물이 무너지지 않게 하기 위하여 재료가 파괴에 이르기 전의 강도를 알기 위해서 재료역학을 공부하고 있습니다.

따라서 여러 방향의 힘이 작용했을 때 주가 되는 힘과 변형을 계산할 수 있어야겠죠?
이 내용에 대해서 이제 앞으로 5/12, 6/12에 걸쳐서 다루어볼까 합니다!

그럼 poisson ratio & shear stress-strain은 이정도로 하겠습니다!
다음 포스팅때 principle stresses 의 내용을 찾아뵙겠습니다.
The 12 - 재료역학편 5/12 에서 만나요!

Q&A

그림1을 참조하시면 될 것 같습니다.

Isotropic 이기 때문에 모든 방향에 대해서 동일한 young’s modulus E를 가진다고 한다면
그림1의 모델이 이를 만족하도록 설계되어 있습니다.
(엄밀히 말하자면, 작은 변위가 일어나는 상황에서 원자수준의 모델입니다.)

이제 그림1에서 위쪽 상황을 먼저 봅시다. 수직방향 운동에 구속이 걸려있는 상황입니다.
오른쪽 방향으로 가해진 f라는 힘과 용수철이 힘의 평형을 이루고 있습니다.
이때 C점을 기준으로 생각해봅시다.

C점에서 힘의 평형을 이루고 있는 용수철은 수평방향 용수철과 대각선방향 용수철입니다.
수평방향으로 $\sigma_x$의 변위가 발생했고, 따라서 대각방향으로 ${\sigma_x}/{\sqrt{2}}$의 변위가 발생합니다.
따라서 힘의 평형을 수식화하여 적어보면 아래와 같습니다.
$$f=k\sigma_x + \frac{k}{\sqrt{2}} \left(\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}} \right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}k\sigma_x$$
$$\sigma_x= \frac{2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}} \left(\frac{f}{k} \right)$$

이제 수직구속을 풀어준다고 생각해봅시다.
수직구속이 풀려도 C점에서의 힘의평형은 유지되어야 하기 때문에 대각방향으로 ${\sigma_x}/{\sqrt{2}}$의 변위로 발생한
대각방향 용수철이 만들어내는 수직방향 탄성력에 의해 수직방향 변위가 발생합니다.

이 때 수평변위로 인해서 발생한 수직방향힘과 평형을 이루는 대각방향 용수철과 수직방향 용수철
두가지 입니다.
(여기서 대각방형 용수철이 중복되어 고려되는 것이 아닌가하는 의문이 드실텐데요.
Isotropic 가정이므로 선형탄성으로 생각하여 수평과 수직을 독립으로 가정했기때문에
비록 같은 대각방향 용수철에서 벌어지는 일이지만 수평변위로 인한 힘을 수직변위에서 저항하고
있는 것으로 생각하면 됩니다. )

이제 수평변위에 의한 대각용수철에서 생성된 힘과 기존 대각용수철, 수직용수철이 저항하는 힘이
평형을 이룰때까지 밑으로 내려가겠죠?
그림 1에서 아래 그림이 이를 나타내고 있습니다.

위에서 계산한바와 같이 대각방향 용수철에 의해서 생성되는 수직방향 힘은 아래와 같습니다.
$$\frac{k}{\sqrt{2}} \left(\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}} \right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}k\sigma_x$$

그리고 위에서 계산한바와 같이 수직변위에 의해서 대각용수철과 수직용수철이 만들어내는 저항력은
아래와 같습니다.
$$f_y=k\sigma_y + \frac{k}{\sqrt{2}} \left(\frac{\sigma_y}{\sqrt{2}} \right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}k\sigma_y$$

따라서
$$\frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}k\sigma_y= \frac{1}{2\sqrt{2}}k\sigma_x$$
$$\sigma_y= \frac{1}{1+2\sqrt{2}}\sigma_x$$
$$\frac{\sigma_y}{\sigma_x}= \frac{1}{1+2\sqrt{2}}=0.261$$