Newbie를 위한 양자역학 12_포텐셜 우물(1차원 유한 포텐셜 우물(하))

그림 출처

# Preview

저번 포스팅(#11)에서 1차 유한 포텐셜 우물을 풀고 있었고, 3가지 영역에서 $\psi$를 구하고 있었습니다.
$$\begin{align} \psi_1 = &Ke^{\gamma x}\\ \psi_2 = & A \cos \alpha x + B \sin \alpha x \\ \psi_3 = & Le^{-\gamma x} \end{align}$$
여기서 상수는 이런 것들이었고요.
$$\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \\ \gamma = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0 - E)}$$
이러한 경계조건이 있었어요.
$$\begin{split} x=-a : &~Ke^{-\gamma a}=A\cos \alpha a - B \sin \alpha a ~~~~ ~~& \gamma Ke^{-\gamma a}=\alpha A \sin \alpha a + \alpha B \cos \alpha a \\ x=a : &~Le^{-\gamma a}=Acos \alpha a + B \sin \alpha a ~~& -\gamma Le^{-\gamma a} = -\alpha A \sin \alpha a + \alpha B \cos \alpha a \end{split}$$
그리고 경계조건을 만족해야하기 때문에 4가지 케이스만 존재할 것이라고 생각을 했죠.
$$\begin{split} (a) ~~& A=0 ~~~\text{&}~~~ B=0\\ (b) ~~& \alpha \sin \alpha a - \gamma \cos \alpha a =0 ~~~\text{&}~~~ \alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a=0 \\ (c) ~~& A=0 ~~~\text{&}~~~\alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a=0 \\ (d) ~~& \alpha \sin \alpha a - \gamma \cos \alpha a =0 ~~~\text{&}~~~ B=0 \end{split}$$
이 중, (a)와 (b)는 물리적으로 의미가 없는 경우라고 설명을 드렸습니다. 그래서 (c)와 (d)에 대한 것을 한 번 풀어봅시다.

# 1D Finite Potential Well_3

case (c)

$$A=0 ~~~~\text{&}~~~~ \alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a=0$$
프리뷰에 있는 경계조건에 $A=0$을 넣어봅시다.
$$\begin{split} x=-a : & ~~Ke^{-\gamma a} = -B\sin\alpha a ~~~~&\gamma K e^{-\gamma a}=\alpha B \cos \alpha a \\ x=a : & ~~Le^{-\gamma a} = B\sin\alpha a ~~~~& -\gamma Le^{-\gamma a} = \alpha B \cos \alpha a \end{split}$$
딱 봐도 $K=-L$인 걸 얻을 수 있네요. 그럼 경계조건이 이렇게 됩니다.
$$K e^{-\gamma a}=-B\sin\alpha a\\ \gamma Ke^{-\gamma a} = \alpha B \cos \alpha a$$
위 식이 분모로 가도록 나눠봅시다.
$$\gamma = -\alpha \cot \alpha a$$
이 식이 뭐죠? $\alpha, \gamma$를 다시 가져와볼까요?
$$\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \\ \gamma = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0 - E)}$$
자, 우리가 모르는 값이 뭘까요…? 뭐, 모르는 게 많지만, 확실히 지금, $E$는 정해진 값이 아닙니다. $m$은 질량, $\hbar$는 상수, $V_0$는 우물의 깊이로 주어지니까요. 그럼 결국 위의 식은 $E$에 대한 방정식이군요. 그런데 우리는 저 방정식을 깔끔하게 풀 수가 없어요. 애석하게도… 하지만, 노력을 해봅시다. $\gamma$랑 $\alpha$가 둘 다 있으니 하나로 줄여봅시다. 둘의 정의에서 우리는 아주 쉽게 다음의 관계식을 압니다.
$$\alpha^2 + \gamma ^2 = \frac{2mV_0}{\hbar^2} \\ \alpha > 0, \gamma >0 \implies \text{원의 1사분면}$$
그러니까 위의 코탄젠트 식은 이렇네요.
$$\sqrt{\frac{2mV_0}{\hbar^2}-\alpha ^2 } = -\alpha \cot \alpha a$$
뭐가 이상한 식이 나왔어! 라고 느끼시면 아주 정상입니다. 뭐, 그렇게 느끼시지 않았어도 정상이 아닌 건 아닙니다. 명제의 ‘이’가 동치는 아니니까요. 일단 한 번 더 속는 셈치고 이걸 해를, 그러니까 $\alpha$를 어떻게 구할 지 생각해봅시다. 가장 절박한 방법은, 양변을 제곱하고, 코탄젠트를 테일러 전개해서 구하는…. 아뇨, 하지 맙시다. $\alpha$에 대해서 그림을 그립시다. 좌변은, 언급했듯이 원의 1사분면(파란색)입니다. 우변은 $y=-x \cot x$ 꼴(빨간색)이네요.

물론, 그림이 잘 나오도록 축적을 제 맘대로 조절한 거지만, 교점이 5개 나왔습니다. 각각이 $\alpha$의 값이 되지요. $\alpha=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$이기 때문에, $\alpha$ 마다 $E$값이 정해지고( == 양자화), 쉽게 양자화된 에너지 값을 구할 수 있습니다. 파란 선이 원이기 때문에, 무한 포텐셜의 경우(#10)와 달리, 이 해, 즉 에너지 값은 몇 개의 유한한 값만을 가집니다. 이 에너지 값이 많아지려면 어떻게 할까요? 아니다, case (d)까지 하고 다 같이 음미해봅시다. 이 질문은 보류.

어찌 되었든, 정확히 표현하기에는 복잡하지만, $\alpha, E$를 구했고, 그로부터 $\gamma$도 구할 수 있으니 일단 이 값들은 다 구했습니다. 이제 뭐가 남았나요? 불행하게도 아직 구할 게 남았어요. $K, B$입니다. $L=-K$이었으니 뭐 그렇다치고요. 일단, 경계조건에서 $K e^{-\gamma a}=-B\sin\alpha a$이니 식 하나는 알고 있어요. 식 하나가 더 있어야겠죠? 뭘까요?

3…. 2…. 1…

Normalization입니다…
$$\int _{-\infty}^\infty \psi \psi^* dx= 1$$
일단, $\psi$가 전구간에서 실수함수이기 때문에 $\psi^* = \psi$이니까…
$$\begin{split} \int_{-\infty}^\infty \psi \psi^* dx= & \int _{-\infty}^{-a} \psi_1^2 dx + \int_{-a}^a \psi_2^2 dx +\int_a^\infty \psi_3^2 dx \\ =& K^2 \int _{-\infty}^{-a} e^{2 \gamma x} dx \\ +& B^2 \int_{-a}^a \sin^2 \alpha x dx \\ +& K^2 \int_a^\infty e^{-2 \gamma x} dx \\ =& B^2(a-\frac{1}{\alpha}\sin\alpha a \cos\alpha a)+K^2(\frac{1}{\gamma}e^{-2 \gamma a}) \\ =& B^2(a-\frac{1}{\alpha}\sin\alpha a\cos\alpha a+\frac{1}{\gamma}\sin^2\alpha a) \\ =&1 \end{split}$$
됐습니다! $\alpha$ 값에 따라 달라지는 $B$를 구했습니다. 그럼 $K$도 나오고, 전체 해를 구했군요. case (d)로 넘어가봅시다.

# 1D Finite Potential Well_4

case (d)

$$\alpha \sin \alpha a - \gamma \cos \alpha a =0 ~~~\text{&}~~~ B=0$$
case (c)와 상당히 유사하게 흘러가기 때문에 중간중간 생략하고 쓰겠습니다. 뭐, 똑같이 프리뷰에 있는 경계조건에 $B=0$을 넣습니다.
$$\begin{split} x=-a : & ~~Ke^{-\gamma a} = A\cos\alpha a ~~~~&\gamma K e^{-\gamma a}=\alpha A \sin \alpha a \\ x=a : & ~~Le^{-\gamma a} = A\cos\alpha a ~~~~& -\gamma Le^{-\gamma a} = -\alpha A \sin \alpha a \end{split}$$
자, 똑같이 $K=L$임을 한 눈에 보시고,
$$Ke^{-\gamma a} = A\cos\alpha a\\ \gamma K e^{-\gamma a}=\alpha A \sin \alpha a \\ \therefore \gamma = \alpha \tan \alpha a$$
마찬가지로 그림을 그립니다. graphical method라고 하기도 합니다.

여기도 다섯 개의 $\alpha$ 값이 나타났군요. 좋아요. 여기서도 $K=L$ 및 $Ke^{-\gamma a} = A\cos\alpha a$로 Normalization, 규격화를 합니다.
$$\begin{split} \int_{-\infty}^\infty \psi \psi^* dx= & \int _{-\infty}^{-a} \psi_1^2 dx + \int_{-a}^a \psi_2^2 dx +\int_a^\infty \psi_3^2 dx \\ =& K^2 \int _{-\infty}^{-a} e^{2 \gamma x} dx \\ +& A^2 \int_{-a}^a \cos^2 \alpha x dx \\ +& K^2 \int_a^\infty e^{-2 \gamma x} dx \\ =& A^2(a+\frac{1}{\alpha}\sin\alpha a \cos\alpha a)+K^2(\frac{1}{\gamma}e^{-2 \gamma a}) \\ =& A^2(a+\frac{1}{\alpha}\sin\alpha a\cos\alpha a+\frac{1}{\gamma}\cos^2\alpha a) \\ =&1 \end{split}$$
끝입니다. $A$를 구했으니 $K, L$도 구할 수 있고, 끝이 났습니다.

#1D Finite Potential Well_5

마무리를 합시다. 일단, 일반적으로 $K=L$이고 $\cos$의 형태로 해를 가지는 case (d)의 경우를 대칭적인 경우, symmetric solution이라 합니다. 대칭이라는 건 우함수를 생각하시면 돼요. 그럼, case (c)처럼 $K=-L$이고 $\sin$의 형태로 해를 가지는 경우는 비대칭적인 경우, antisymmetric solution이라 하겠죠. 기함수의 꼴입니다. 다시 계속 나오는 graphical method의 그림을 보시면 아시다시피 $\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ 이기 때문에, $\alpha$의 값 순서대로 에너지 $E$값이 됩니다. 그래서 case (c)와 (d)를 한 번에 그려봤습니다.

원점을 지나는 빨간 게 탄젠트의 그래프, 즉 case (d)고, 초록색 선이 case (c)입니다. 제일 낮은 에너지를 가지는 건 어느 경우인가요? 대칭적인 경우가 가장 낮은 에너지를 가집니다. 이는 무한 포텐셜 때와 같은 경우입니다. 에너지 순서는 $\alpha$값의 순서를 보시면 됩니다. 가장 낮은 대칭적인 경우 다음은 비대칭이네요. 다음은 대칭이고요. 하나씩 번갈아 가면서 점점 에너지가 높아집니다. 각각의 에너지마다 에너지 준위에 해당하는 $\psi$가 존재하겠고요. 그림 출처

그리고 하나 더 주목할 것은, 이 $\alpha$ 값이 끝이 있다는 겁니다. case (c)를 하고 나서 잠깐 언급했듯이 에너지 값은 몇 개의 유한한 값만을 가집니다. 당연하죠. 유한 포텐셜 우물인데다가 전의 포스팅(#11)에서 #1D Finite Potential Well_1에 이미 $E<V_0$라는 조건을 달고 있다고 했으니까요. 그렇다면 전체 에너지 준위 갯수를 늘리려면 어떻게 할까요? 다시 말해 $\alpha$의 해가 많이 나오게 하려면요? 두 가지 방법이 있겠죠. 좌변인 원의 반지름을 크게 잡거나, 우변인 코탄젠트, 탄젠트 식을 조작하거나.

원의 반지름을 크게 잡으려면, $V_0$를 크게 잡으면 됩니다. 우물의 높이를 키우는 거죠. 직관적이죠? 우변을 조작하려면 우물의 폭인 $a$를 크게 잡으면 됩니다. 하지만 적당히 늘린다고 해서 무조건 해가 늘어나는 건 아니란 것도 알 수 있습니다. 다 양자화 때문이죠. 늘리는 것도 원과 탄젠트 식의 교점이 생길 만큼은 되어야 준위의 갯수가 늘어나죠.

#1D Finite Potential Well_6

이제 무한 포텐셜 우물(#10)과 가장 큰 차이점을 봅시다. 제목은 내용을 대표하기 때문에 제목을 일단 다시 보아하니 우물의 높이가 무한이냐 어떠한 정해진 상수값이냐였어요. 그리고 전체 에너지 $E$가 우물 높이 $V_0$보다 낮은 경우였죠. 우리가 상식적으로 생각할 때, 전체 높이보다 낮은 에너지를 가지고 있다면, 그 입자는 밖으로 나갈 수가 없습니다. “높은 벽”에 부딪히니까요.

하지만… 유한 포텐셜은 벽 밖에도 입자가 존재합니다… 아뇨, 존재할 확률이 존재합니다. 존재할 확률이 존재한다는 것은 확실합니다. $\psi \psi^*$가 확률밀도함수라 했고(#01), 이걸 적분하면 그 구간에서의 확률이죠. 그런데, 확실히 $\psi$가 실수함수이기 때문에 $\psi \psi^* = | \psi |^2$이고, 벽 밖의 공간 $|x|>a$에서 $\psi \neq 0$입니다. 적분한 값이 0이 아니겠네요! 넘을 수 없는 높은 벽을 뚫고 벽 밖의 공간에 존재할 확률이 있군요. 굳이 구하고 싶다면 $\int_{- \infty}^{-a} \psi_3 ^2dx$ 같은 걸 한 번 계산해보세요~

이 현상을 터널링(Tunneling)이라 합니다. 벽을 터널처럼 뚫고 밖으로 나간다는 소리겠죠. 물론 그렇게 될 확률이 존재한다는 겁니다. 터널링은 그냥 보기에는 미분방정식에서 나온, 별 쓸데없는 현상이라 생각이 들 수도 있지만, 터널링이 존재하지 않는다면 이 세계는 무너집니다. (거창) 원자 두 개가 근접하면서 전자가 결합하는 건 터널링 없이 일어날 수 없기 때문이죠! 하하하. 터널링 이야기는 다음 포스팅에서 아주 짧게 해보죠.

# Closing

자, 유한 포텐셜에서 해와, 에너지 준위를 구해봤…. 네 알겠어요… 구하는 방법을 알아봤습니다. 무한 때와 달리 깔끔한 값으로 딱 떨어지지 않고, graphical method를 이용해서 에너지를 구하기 때문에 그렇긴 합니다. 그리고, 유한 포텐셜에서 터널링이 일어난다는 사실을 깨달았으니, 짧게 그것에 대해 다음 포스팅에서 봅시다. 예아