원자핵공학과: 플라즈마 전자역학 1, 2

안녕하세요! 공우 14기 최영환입니다.

원자핵공학과 2,3 학년 때 듣는 과목인 플라즈마 전자역학에 대해 소개드리려 하는데요, 다들 이름만 들으면 플라즈마 전자역학(이하 플전)이 뭐하는 과목이지 싶으실 겁니다. 아직 플라즈마도 모르고 전자역학도 모르는 (!) 학부 저학년 입장에서 이름만 듣고 이 과목이 어떤 과목인지를 파악하는 것은 매우 어려운 일이지요. 사실 플전은 과목 이름 앞에 플라즈마만 붙었다 뿐이지 공대 전체에서 기초적으로 배우는 전자기학을 배우는 시간입니다. 물론 플라즈마가 이름 앞에 붙은 만큼 플라즈마의 기초적인 전자기 성질들도 다뤄요. 

수업은 David K. Cheng의 명저인 Fundamentals of Engineering Electromagnetics으로 진행하는데요, 해당 책의 챕터를 기반으로 어떤 내용을 배울 수 있는지 봐보겠습니다. 

1. 과목에서 배울 수 있는 내용

우선 전자기학의 기초가 되는 vector algebra (vector calculus) 부분을 배웁니다. Cartesian coordinate 외에 cylindrical, spherical coordinate 등의 curvilinear coordinates들을 배우고, 해당 좌표계에서 벡터를 어떻게 사용하는지에 대해 배웁니다. 

cylindrical coordinate

spherical coordinate

Fig 1. 대표적인 curvilinear coordinate인 cylindrical coordinate와 spherical coordinate

그 다음 gradient, divergence, curl 등의 사용법과 발산정리, Stoke’s theorem, Helmholtz’s theorem 등을 배움으로써 벡터를 사용하는 수학적 formulation들을 배웁니다. 전자기학이 다루는 대상인 전자기장은 벡터로 표현하다 보니 벡터의 사용법에 익숙해지는게 많이 중요한데, 그걸 1,2 챕터에서 다룬다고 보시면 됩니다.

 

Fig 2. 전자기학에서 배우는 대표적인 vector algebra인 triple product와 product rules

3챕터부터는 정전기학(electrostatics)에 대해서 배우는데, 전하가 움직이지 않아 전류가 없고, 따라서 전기장만 존재하는 경우에만 대해 배웁니다. 전하 분포가 주어졌을 때 전기장이 어떻게 생길지를 가우스 정리, 푸아송 방정식 등을 적용해 알 수 있습니다. 

Fig 3. 정전기학 경곗값 문제의 예시. 두 구의 표면에 배치된 전하가 만드는 전기장 및 전위 분포를 확인할 수 있습니다. 

또한 전기변위장(electric displacement)이라는 개념에 대해 제대로 배우는데, 이는 전기장이 물질에 인가되면 분극이라는 현상이 발생하고, 그 결과 물질의 전기적 성질인 유전율이 진공과는 달라져 결국 전기장을 바꾼다는 것을 배웁니다. 전기변위장의 값은 자유전하 및 유전률와 관련있다는 것과, 커패시터(축전기)와 그에 저장된 정전기 에너지 간 관계를 포함하여 푸아송 방정식과 라플라스 방정식을 이용한 경계값 문제들을 다루게 됩니다. 3챕터가 끝나게 되면 경계조건이 주어졌을 때 정전하 분포에 의해 형성되는 전위분포를 계산할 수 있게 됩니다. 예를 들어, 커패시터의 구조가 주어졌을 때 커패시터의 정전용량 등을 계산할 수 있게 됩니다.  

4챕터는 전하가 움직이는 상황, 즉 전류가 흐르는 상황을 다루기 시작합니다.  4챕터는 비교적 양이 적은 챕터로, 간단한 옴의 법칙, 줄의 법칙 및 전류량 계산을 다룹니다.  4챕터가 끝나면 전압 분포가 주어졌을 때 steady-state 전류가 어떻게 흐르는지 알 수 있게 됩니다. 

5챕터부터는 자기장에 대해 배우기 시작합니다. 정자기학 파트에 해당하는 챕터라 볼 수 있습니다. 자기장의 퍼텐셜에 해당하는 자기 벡터 퍼텐셜(magnetic vector potential)이 무엇인지 배우고, 전류 분포와 자기벡터 퍼텐셜 간 관계에 대해 배웁니다. 이를 통해 전류 분포로부터 정자기장 분포를 계산하는 방법을 배웁니다.  정전류가 흐를 때 만들어지는 정자기장의 분포는 비오-사바르 법칙(Biot-Savart law)을 통해 계산할 수 있는데, 비오-사바르 법칙을 적용해 다양한 전류분포로부터 자기장 분포를 계산하는 법을 배울 수 있습니다.  

또한 5챕터에서는 자기 쌍극자에 대해 배웁니다. 정전류는 전하보존 상 고리를 이룰 수밖에 없으므로 이러한 전류고리가 만들어내는 자기장 구조를 대표하는 값(자기 모멘트)와 근사적인 자기장 구조에 대해 계산해볼 수 있습니다.  또한 자석 등 자화와 자화된 물질이 만드는 자기장에 대해 배우고, 물질이 존재할 때 자기장이 어떻게 변하는지 배웁니다. 즉, 물질의 자성과 자기장 간 관계에 대해 배웁니다. 앞에서 다루었던 정전기학 때의 경계조건과 마찬가지로, 자기장에 대한 경계조건에 대해 설명해주고 이를 통해 경계에서 자기장이 어떤 조건을 만족해야 하는지 배웁니다. 즉 자기장에 대한 경계값 문제를 풀 수 있는 능력을 배양할 수 있습니다. 

Fig 4. 전류가 생성하는 자기장과 코일과 자석이 만드는 자기장 분포

추가적으로 회로 소자의 성질 중 하나인 인덕턴스가 무엇이고, 왜 생기는지에 대해 배웁니다. 이를 통해 코일 구조에 해당하는 인덕턴스를 계산하는 방법을 배울 수 있습니다.  추가적으로, 자기장 속 전류가 존재할 때 전류가 받는 힘(Lorentz force)을 배웁니다. 

6챕터부터는 시변(time-varying)하는 전자기장을 맥스웰 방정식을 통해 계산하는 법을 배웁니다. 즉 6챕터부터 본격적으로 전자기 역학(electrodynamics) 파트가 시작됩니다. 맥스웰 방정식 4개를 이용해서 전기장과 자기장 분포를 계산하는 방법을 배웁니다. 또한 retarded potential (지연 퍼텐셜)이라는 개념을 배워, 슬슬 전자기파를 다룰 준비를 시작합니다. 지연 퍼텐셜은, 빛보다 정보전달이 빠를 수 없다는 상대성 원리에 의해 전자기장도 광속 이하로 전달이 되기에 필요한 개념입니다. 일상적인 경우에는 다룰 필요 없지만, 이 개념이 없다면 전하가 가속되어도 전자기파가 ‘발생’하지 않는다는 비물리적인 결과가 나오기에 꼭 전자기파의 발생에 있어서는 필수적인 개념입니다. 6챕터가 끝나면 time-varying 전기장과 자기장의 시간, 공간적 분포를 계산 가능합니다. 

7챕터는 전자기파를 다루기 시작해야 하므로, 먼저 파동에 대해 다룹니다. 우선 진공에서의 맥스웰 방정식의 해가 전자기파라는 것을 배우고 제일 간단한 해인 평면파(plane wave)를 배웁니다. 매질에 감쇠(attenuation)가 없다면 전자기파는 감쇠되지 않고 (매질에 흡수되지 않고) 진행하지만 진공을 제외한 실제 물질에서는 감쇠가 존재합니다. 이러한 감쇠가 있는 경우, 즉 lossy medium 내에서의 전자기파가 어떻게 진행하는지에 대해 자세히 배웁니다. 이 부분이 중요한 이유는, 플라즈마도 일정 주파수 이하의 전자기파에 대해 lossy medium이기 때문입니다. 따라서 lossy medium 내에서 전자기파의 에너지 손실에 대해 배우는 것은 플라즈마가 전자기파로부터 어떻게 에너지를 흡수하는지를 다루는 것으로, 플라즈마 물리 관점에서 매우 중요한 부분입니다. 

Fig 5. 전자기파를 나타내는 그림. 전자기파는 시변 전기장과 자기장이 공간을 통해 전달되는 현상이다. 

추가적으로, 7챕터에선 전자기파 에너지 플럭스 벡터에 해당하는 포인팅 벡터의 개념에 대해 배우고 경계조건을 이용한 전자기파의 반사 및 굴절 현상을 다룹니다. 즉 7챕터는 전자기파가 무엇인지, 그리고 그 전파(propagation)가 매질 속에서 어떻게 되는지 다루는 챕터라고 할 수 있겠습니다. 7챕터가 끝나면 전자기파가 무엇이고, 굴절률(refractive index)이 무엇이고, 매질 속에서 어떻게 전파되는지에 대해 대략적인 이해를 가지게 됩니다.  7챕터는 플전 1의 마지막 챕터로, 일반적으로 7챕터가 끝날 즈음 플전 1이 종강하게 됩니다. 

 

플전 2는 보통 플전 1을 간단하게 다시 리뷰한 후, 교과서 진도 상으로는 8챕터부터 시작합니다. 그런데 8챕터 이전에 플라즈마를 토픽으로 디바이 차폐, 플라즈마 공진(plasma oscillation) 등 플라즈마가 보이는 기초적인 전자기 현상을 다루기도 합니다. 플전 1은 말이 플라즈마 전자역학이지 사실상 공대 공통 전자기학에 가까운 느낌인데, 플전 2로 넘어와서 본격적으로 전자기학이 플라즈마에 어떻게 응용될 수 있는지 다루기 시작합니다. 

8챕터는 전송선로 이론으로, 전파가 전송선로를 통과할 때의 physics에 대해 다룹니다. 신호의 주파수가 높아지면 회로 소자의 크기에 전기신호의 파장에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정할 수 없게 됩니다. 따라서 고주파 신호로 갈수록 파동적 성질을 띄게 되며, 전송선로 이론을 적용해야 고주파 신호를 올바르게 기술할 수 있게 됩니다. 전송선로 이론을 통해 고주파에서 회로의 반응, 특성 임피던스 계산, 반사-투과계수 계산, 스미스 차트와 임피던스 매칭 등에 대해 알 수 있습니다. 

Fig 6. 전송선로 모델과 스미스 차트

8챕터가 끝나게 된다면, 주파수가 높아 파장이 전송선로의 길이와 comparable 한 경우 회로에서의 전기신호의 거동에 대해 이해할 수 있습니다. 또한 이러한 고주파 신호가 반사되거나 투과되는 현상에 대해 이해할 수 있으며, 이 현상이 특성 임피던스의 매칭 여부 때문이었다는 것을 알 수 있습니다. 또한 스미스 차트(Smith chart)에 대해 배워, 신호의 매칭을 위해서는 회로의 어떤 성분을 조정해 주어야 하는지도 알 수 있습니다. 정리하자면 8챕터는 고주파(RF) 전송, coupling, matching을 이해하기 위해 필수적인 부분입니다. 플라즈마를 만드는 제일 일반적인 방법이 저압의 기체에 RF를 인가하는 것인데, 이때 matching이 되어있는지, 아니면 되어있지 않은지에 따라 플라즈마가 켜질지 안켜질지 결정됩니다. 따라서 향후 플라즈마 실험을 전공하고 싶다면 고주파의 특성과 기본적으로 플라즈마를 생성하기 위해 무엇이 필요한지는 알고 있어야 하므로, 8챕터는 꼭 심도있게 공부할 수 있도록 하는 것을 추천드립니다. 

9챕터부터는 도파관(waveguide)과 캐비티(cavity)를 주로 다룹니다. 8챕터는 전기신호(파동)이 전송선로를 따라 TEM (Transverse electromagnetic) 모드로 전파하는 상황을 다뤘다면,  9챕터부터는 전자기파가 TEM 모드 뿐 아닌, 도파관의 경계조건에 따라 TE (Transverse Electric) 모드, TM (Transverse Magnetic) 모드 등 다양한 모드로 전파할 수 있다는 것과, 캐비티의 경계조건에 해당하는 전자기파는 캐비티 내에서 resonance를 할 수 있다는 것에 대해 배웁니다.  

 

Fig 7. 도파관(위)과 캐비티(아래)의 도식도

도파관은 말 그대로 전자기파가 지나가는 통로로, 전파를 guide하여 원하는 경로로 transport 할 수 있게 해줍니다. 도파관 내 전자기파는 앞서 언급했듯 TE, TM 모드 등으로 가이드 되는데, 각 모드별로 경계조건 및 맥스웰 방정식에 따라 가질 수 있는 mode number와 파장이 있습니다. 따라서 도파관이 전달할 수 있는 파동의 조건은 어떻게 되는지, 특정 파동을 전파하고 싶을 때는 어떤 도파관을 사용하면 되는지랑, 도파관 내 전파되는 파동의 파수와 속도는 어떻게 되는지 등에 대해 알 수 있습니다. 

캐비티는 경계조건을 이용해 원하는 주파수의 전자기파만 내부에 존재할 수 있게 하는 장치로, 해당 주파수의 공명을 일으키는 장치라고 할 수 있겠습니다. 캐비티의 사이즈에 따라 공명 주파수가 달라지게 되는데, 어떤 사이즈의 캐비티를 이용해야 원하는 주파수의 전파를 얻을 수 있는지 배웁니다. 

마지막 챕터인 챕터 10은 안테나로, 전파를 발생시키는 안테나에 대해 다룹니다. 저희가 전파를 만들기 위해서는 결국 전류를 특정 주파수와 특정 모양으로 ‘잘’ 흘려주어야 하는데, 10챕터에서는 앞서 배웠던 주제들과 마찬가지로 맥스웰 방정식과 경계조건을 이용해 전파가 어떻게 만들어지는지 배웁니다. 즉 전파를 방사하기 위한 안테나의 모양과 방사되는 전파 모양에 대해 배운다고 보시면 될 것 같습니다. 10챕터까지 배우면 Cheng의 전자기학 교재가 끝납니다. 여기서 보통 종강을 하기도 하지만 교수님에 따라 10챕터는 나가지 않고 추가적인 플라즈마-전자기파 상호작용 또는 플라즈마 내 전자기파의 분산 관계(dispersion) relation에 대해 수업을 진행하시는 교수님도 있습니다.

즉 플라즈마 전자역학을 통해 배울 수 있는 내용을 정리하자면, 다음과 같습니다. 

    1. Vector algebra

전자기학은 전자기 현상을 정량적으로 다루는 학문인 만큼, 전자기 현상을 정량화 하는 가장 좋은 도구인 벡터와 스칼라의 활용방법을 배울 수 있습니다. 이전까지 집중했던 단순 연산에서 벗어나 gradient, divergence 등 미분 연산자(nabla)가 포함된 연산을 할 수 있는 능력을 배양할 수 있고, 미분 연산자로 표시된 수식을 이해할 수 있게 됩니다. 

    2. Electrostatics (정전기학)

시간이 지남에 따라 전하의 분포가 바뀌지 않는 계에서 (steady-state) 전하분포, 경계조건이 주어졌을 때 해당 계의 전위 분포를 계산할 수 있습니다. 즉 어떤 부분의 전기장 또는 전위가 얼마인지 계산할 수 있습니다. 

    3. Magnetostatics (정자기학)

정전기학과 마찬가지로, 정상상태인 계에서 전류밀도분포, 경계조건이 주어졌을 때 해당 계의 자기포텐셜 분포를 계산할 수 있습니다. 즉 어떤 부분의 자기장이 얼마인지 계산할 수 있습니다.

    4. Electrodynamics (전자기학)

맥스웰 방정식을 통해 전기와 자기는 사실 동일한 현상의 다른 면이었다는 것을 깨닫게 되며, 전자기 현상의 time-evolution을 이해할 수 있게 됩니다. 전자기의 지배 방정식인 맥스웰 방정식 + 로런츠 힘 방정식을 통해 시간에 따라 변하는 전하분포 및 전류분포가 생성하는 전기장과 자기장의 분포를 온전히 계산할 수 있게 됩니다. 또한 전자기파가 맥스웰 방정식의 해였던 자연 현상임을 이해할 수 있습니다.  

    5. EM wave

진공 또는 매질 내 전자기파의 전파에 대해 알 수 있으며 전자기파가 전달하는 에너지 플럭스, 속도, 반사 및 굴절 등 현상에 대해 이해할 수 있게 됩니다. 또한 고주파(RF 영역) 주파수 전기신호의 전파를 다루는 전송선로 이론을 이해할 수 있게 되며, 도파관, 캐비티 및 안테나 등 구조에 대해 이해할 수 있게 됩니다.  

 

2. 선배로서의 조언

플라즈마 전자역학 과목은 원자핵공학과에서 전자기학(electromagnetics)을 제대로 공부할 수 있는 처음 기회입니다. 전자기학 하면 대부분이 물리학과에서 배우는 그리피스 전자기학 (Griffiths, D. J. Introduction to electrodynamics.)을 생각할 텐데, 플전은 그리피스 전자기학이 아닌 챙 전자기학 (Cheng, D. K. Fundamentals of engineering electromagnetics.)으로 진행합니다. 전자기학의 이론적인 베이스를 공부하고 싶다면 그리피스 교재를 참고하는 것을 추천드립니다. 

그리피스는 게이지, 리에나르-비케르트 퍼텐셜 등 물리학자를 위한 전자기 이론적 내용이나 formulation이 많이 들어가 있고, 챙은 전송선로 이론, 안테나, 각종 경계조건 문제 등 그리피스에 비해 훨씬 전자기학 응용 예시들이 많이 들어가 있으므로, 플전을 공부할 때 두 차이점을 유념하며 공부하면 훨씬 좋습니다. 

책 앞에 있는 기본 벡터 calculus나 formulation 부분을 많이들 간과하는데, 뒤에 반복적으로 나오고 앞부분에 대한 이해가 부족하면 뒤로 갈수록 내용을 이해하는 데 심각한 지장이 있으므로, vector calculus 부분이랑 formulation 부분을 철저히 공부하는 것을 추천드립니다. Vector calculus 부분에서 수식을 유도하는 데 벡터의 Einstein notation 사용이 크게 도움이 되므로, 시간이 있다면 Einstein notation 부분을 공부하는 것을 추천드립니다. Kronecker delta와 Levi-Civita symbol의 사용이 익숙해지는 것이 향후 벡터 계산 속도와 이해를 크게 향상시켜 주므로, Einstein notation의 사용은 숙달하는 것을 추천드립니다. 

챙 전자기학은 답지가 있으므로, 모든 연습문제를 다 푸시는 것을 추천드립니다. 전자기학은 개념을 이해하는 것도 중요하지만, 실제 그 개념을 어떤 상황에 어떻게 적용할 것인지에 대해 익숙해지는 것도 매우 중요합니다. 따라서 교재에 있는 문제들은 왠만하면 전부 푸시는 것을 추천드립니다 (풀다보면 은근히 재미있습니다). 책 구성과 흐름이 매우 좋아 강의자료가 아닌 책 위주로 공부해도 좋습니다. 

향후 진로를 플라즈마 이론과, 플라즈마 실험으로 할 것이라면 필수 교과목입니다. 즉 플라즈마를 진로로 선택할 것이라면 플전1,2 과목을 꼭 듣는 것을 추천드립니다. 플라즈마 이론 쪽이라면 기초적인 전자기학과 플라즈마의 전자기적 성질을 공부할 수 있는 좋은 기회이고, 플라즈마 실험 쪽이라면 RF 매칭, 임피던스 분석, 도파관이나 캐비티 등 플라즈마 발생에 필수적인 장비들이나 전파에 대한 이해를 증진시킬 좋은 기회입니다. 굳이 플라즈마 전공이 아니더라도, 전자기학은 이미 재료(핵재료 포함), 방사선, 전자회로 등을 이해하는데 필수적인 교양입니다. 예를 들어, 재료 분야에서는 물질의 결합 구조, 물질 내 전자기장을 설명하는데 전자기학과 양자역학이 필수적이며, 방사선 분야에서도 고에너지 하전입자가 물질과 어떻게 상호작용할 것인지 이해하려면 전자기학에 대한 기초적인 이해가 필수적입니다. 따라서 중성자 수송 계산 등 전자기장을 전혀 고려하지 않아도 되는 상황을 다루는 전공을 하는 것이 아니라면, 모든 전공 분야에서 두루 도움이 되는 과목이니, 꼭 듣는 것을 추천드립니다. 

 

3. 맺음말

플라즈마 전자역학 과목은 원자핵공학과 과목 중 전자기학을 제대로 공부해볼 수 있는 몇 안되는 기회입니다. 향후 전공을 플라즈마/핵융합/펄스파워 등으로 한다면 필수적으로 들어야 하는 교과목입니다. 전자기학은 단순히 플라즈마에만 적용되는 것이 아니라, 다양한 공학/과학 분야를 이해하는 데 기초가 되니 수강을 적극 추천드립니다.