통계랑 '3'일째: 기초확률론 2_확률 법칙과 조건부 확률

1.들어가며

지난 시간에 확률의 정의에 대해 알아보았습니다! 상당히 아리송했죠 별 것도 아닌 것이!! 오늘은 정의에 이어 여러 가지 성질에 대해 알아보겠습니다. 확률의 성질을 알고난 후엔 본격적으로 통계학의 세계에 입문할 수 있는 자격이 주어질 것입니다. 오늘은 비교적 쉬운 단계예요!!ㅎㅎ

2.확률의 곱셈과 덧셈 법칙

중학교 때부터 계속 들어본 당연한 사실, 곱셈과 던셈 법칙이죠.

2.1.확률의 곱셈 법칙

곱셈 법칙은 사실 상당히 제한적인 공식이라고 할 수 있습니다. 바로 사건 A,B가 있을 때 독립, 여러 사건이 있을 때 서로 독립(mutually independent)할때만 해당됩니다. 서로 독립인 모든 사건에 대해 교집합, 즉 모든 사건이 일어날 확률은 각 사건이 일어날 확률의 곱과 같습니다.

2.2.확률의 덧셈 법칙

덧셈 법칙 또한 제한적인 공식입니다. 아까 서로 독립인 경우였다면 서로 배반(mutually exclusive)인 경우! 서로 배반인 모든 사건에 대해 교집합, 즉 모든 사건이 일어날 확률은 각 사건이 일어날 확률의 합과 같습니다.

2.3.보론: 확률의 정의

frequentist에 의한 확률의 정의에 보면 제3법칙에 이미 확률의 덧셈 법칙이 공리적으로 가정돼있습니다. 또한 확률의 곱셈 법칙은 사실 독립의 정의라는 측면에서 자명하게 인식될 수 있습니다.

그러나 앞서 설명드린 베이지안적 관점에서 살펴보면 절.대.자명하지 않습니다. 사실 확률의 덧셈과 곱셈 법칙 모두 베이지안적 관점에서의 5가지 논리 규칙을 토대로 초안적으로 세워진 식입니다. 이 때 w(A)라는 함수가 확률의 덧셈과 곱셈 법칙과 같은 형상으로 증명됩니다. 이 때 w(A)는 probability;확률이 아닌 plausibility;그럴듯함 입니다. 여기에 indifference principle이나 maximum entropy principle 등의 가정에 의해 최종적으로 확률이라는 개념이 완성됩니다^^

3.조건부확률

조건부확률은 이해하기가 쉽습니다. 공식만 이해하면!! 말그대로 어떤 조건부 하에서의 확률입니다. 이를테면 지금이 아침일 때 참새가 잡힐 확률은 조건부확률입니다. 이 때 아침이라는 것이 조건부가 돼죠. 즉 그냥 비조건부확률 참새가 잡힐 확률은 이 확률값과 다릅니다.

3.1.조건부확률의 개념

조건부확률은 P(A|B)로 통상적으로 표현됩니다. 여기서 B가 조건이 됩니다. P(A|B)=P(A교집합B)/P(B)라는 공식이 성립합니다. 따라서 변형적으로 P(A교집합B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)가 성립하게 됩니다.

3.2.조건부확률과 독립

아까 frequentist의 관점에서 확률의 곱셈법칙의 정의가 곧 독립의 정의라고 말씀드렸죠? 상식선에서 조건 B 하에서 사건 A가 일어날 확률과 그냥 사건 A가 일어날 확률이 같으면 당연히 독립이겠죠? 식으로 표현해보면 P(A|B)=P(A)이고, 위의 변형식을 활용해보면 확률의 곱셈법칙과 정확히 같다는 것을 알 수 있습니다.

3.3.보론:조건부확률과 베이지안

앞서 베이지안의 관점에서의 확률은 주사위의 예로 들어 주사위의 눈금이 6이 나올 확률이 계속해서 관측값에 따라 변해가는 것을 허용한다고 말씀드렸습니다. 그 수리적 근거가 바로 조건부확률의 변형식입니다. 즉 베이지안 관점에서 A:주사위 눈금이 6인 사건, B:우리가 주사위 실험을 한 결과 내지 사건 이라고 할때의 조건부확률을 비로소 주사위 눈금이 6이 나올 확률이라고 결론 내리는 것이죠!

4.몬티홀의 딜레마

몬티홀의 딜레마는 영화 21에 등장하는 장면입니다. MIT 수학 강의 시간에 교수가 세 가지 문 중 한 가지 문에 자동차 상품이 있을 때의 상황을 상정하여 천재 수학도 주인공에게 문제를 내죠.

주인공이 한가지 문을 고르자, 교수는 다른 두가지 문 중 한가지 문을 열어 보여주며 이 문은 꽝이라고 말해줍니다. 이 때 주인공에게 자신의 선택을 바꿀 것인가 묻습니다. 이 상황이 바로 몬티홀의 딜레마입니다.

어떤 선택이 자신에게 유리할까요? 여러분에게 고민해보실 기회를 드리겠습니다! 바로 다음 시간 도입부에 조건부확률의 개념 하에 논리적인 정답을 말씀드리겠습니다^^ 물론 워낙 유명하여 답은 다 알고 계시겠지만! 그 이유를 논리적으로 마련해보시길 바랍니다.

5.마치며

오늘은 첫시간의 확률의 정의에 이어 확률의 덧셈 곱셈 법칙, 조건부확률에 대해 알아보고 몬티홀의 딜레마를 제안해보았습니다. 다음 시간에는 본격적으로 확률변수로 시작해 통계학에 입문해봅시다^^ 감사합니다~