전기정보공학부: 기초전자기학 및 연습

1. 과목에서 배울 수 있는 내용

1.1. 과목의 전반적인 개요

이 과목은 2학년 2학기에 듣게 될 전공필수 과목 중 하나로, 물리학2에서 배웠던 전기장과 자기장을 더욱 세부적으로 알아봅니다. 벡터해석 복습을 시작으로 공간에 펼쳐진 전기장과 자기장을 구하는 여러 방법들을 공부하며, MATLAB 튜토리얼을 통해 수치적으로 전자기학 문제를 푸는 방법도 살펴봅니다. 과목은 크게 전기장과 자기장의 두 파트로 구성되어 있습니다. 학기 대부분은 이들 장이 시간에 따라 변하지 않는 경우를 다루지만(이들을 각각 electrostatics, magnetostatics라고 부르기도 합니다), 학기 말이 되면 시간에 따라 변하는 전자기장을 기술하는 Maxwell 방정식에 대해서도 짤막하게 알아봅니다.

1.2. 정전기장(Static electric fields; electrostatics)

전반부에서는 전기장을 만드는 다양한 방법, 그리고 만들어진 전기장을 계산하는 방법을 공부합니다. 전기장을 만드는 방법 중 가장 대표적으로 전하를 이용하는 것이 있습니다. 특히 전하 분포가 시간에 따라 변하지 않으면 전기장은 Coulomb의 법칙을 만족하며, 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다. ($\bold{E}$는 전기장, $\epsilon_0$는 free space의 유전율, $\rho(\bold{r}')$는 전하 분포를 나타냅니다.)

$$\bold{E}(\bold{r}) = \int \frac{\rho(\bold{r}')}{4\pi\epsilon_0} \frac{(\bold{r}-\bold{r}')}{|\bold{r}-\bold{r}'|^3}d^3\bold{r}'\,.$$

한편 벡터장 $({\bold{\hat{r}}}/{r^2})$의 발산이 $4\pi\delta^3(\bold{r})$로서 3차원 Dirac delta 함수라는 것으로부터, 전기장의 면적분이 내부 전하량과 비례하다는 Gauss의 법칙을 유도할 수 있습니다. 이는 특히 전하 분포가 대칭적인 경우 전기장을 구할 때 필요한 계산 양을 줄여줍니다.

하지만 전기장은 결국 벡터량이므로 상황이 복잡해지면 다루기 어렵다는 한계가 있습니다. 임의의 폐곡선을 따라 전기장을 선적분하면 늘 0이 되므로, 전기장이 보존장이라는 이 사실에 기반해 다음 관계를 만족하는 스칼라량인 전기 퍼텐셜 $V(\bold{r})$를 정의합니다:

$$\bold{E}(\bold{r})= -\nabla V(\bold{r})$$

퍼텐셜 $V(\bold{r})$는 일반적인 전하분포에 대해 Poisson 방정식

$$\nabla^2 V(\bold{r}) = -\frac{\rho(\bold{r})}{\epsilon_0}$$

을 만족하며, 특히 내부 공간이 전하가 없는 free space라면 Laplace 방정식

$$\nabla^2 V = 0$$

을 만족합니다. 따라서 free space에서의 정전기장을 찾는 문제는 경계조건이 주어졌을 때 Laplace 방정식을 만족하는 함수 $V(\bold{r})$를 찾는, 편미분방정식의 경계값 문제로 바뀌게 됩니다.

이 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있으며, 주어진 방정식과 경계조건을 만족하는 해$V(\bold{r})$이 하나밖에 없다는 유일성 정리가 이 다양한 접근이 타당함을 말해줍니다. 우선 method of images라는 방법이 있습니다. 전하가 놓인 free space 주변에 어떤 경계조건이 주어질 때, 기존 문제 상황의 전하와 해당 경계조건을 똑같이 만들어낼 수 있는 가상의 image 전하들을 배치해서 이들 전하들이 만들어내는 퍼텐셜을 계산하는 방법입니다. 하지만 이 방법은 적용할 수 있는 문제는 한정적이라는 단점이 있습니다. 그보다 일반적인 방법으로 separation of variables가 있습니다. 이것은 구하고자 하는 함수 $V(\bold{r})$를 각각 하나의 변수에만 의존하는 함수들의 곱, 예를 들어

$$V(\bold{r})=V(x, y, z)=X(x)Y(y)Z(z)\,$$

혹은,

$$V(\bold{r})=V(r, \theta, \phi)=R(r)\Theta (\theta) \Phi(\phi)\,$$

꼴로 바꾸어 방정식에 대입해 이들 각각의 함수를 찾는 방법입니다. 어떤 좌표계를 이용할지는 문제의 경계조건이 어느 좌표계에 맞도록 설정되어 있는지에 따라 결정됩니다. 문제의 해답으로 내놓게 될 $V(\bold{r})$는 대개 여러 함수들의 일차결합, 가령,

$$V(\bold{r})=V(x, y, z)=\Sigma_n C_n X_n(x) Y_n(y) \,$$

혹은,

$$V(\bold{r})=V(r, \theta, \phi)=\Sigma_n C_n R_n(r)\Theta_n(\theta)\,$$

꼴로 나타납니다. 각 항들의 계수 $C_n$은 경계조건을 대입하고 각 함수들 사이의 orthogonality를 이용하여 대부분 결정할 수 있습니다. 하지만 경우에 따라 경계면에서 한참 멀어졌을 때 $V(\bold{r})$이 asymptotic하게 따라야 하는 모양을 보고 $C_n$을 정해야 할 수도 있습니다. 이처럼 문제에 따라 접근 방법이 달라지는 만큼, 이 내용을 공부할 때는 여러 문제들을 많이 풀어보는 것이 좋겠습니다.

지금까지는 free space에서의 전기장만 다루었지만, 전기장과 영향을 주고받는 물질이 놓여 있다면 이들이 전기장에 끼치는 효과도 고려해 주어야 합니다. 원자 자체는 전기적으로 중성이지만, 전자로 인한 음전하와 핵으로 인한 양전하의 위치가 달라 electric dipole을 이루면 전기장을 만들 수 있게 됩니다. 단위 부피 당 원자들의 dipole 개수, 즉 dipole의 밀도를 polarization $\bold{P}$라고 부릅니다. 전기장의 영향을 받아 $\bold{P}$가 생겨나고 또 $\bold{P}$가 전기장을 만들어내기에, 전기장 $\bold{E}$만을 고려하면 상황이 복잡하게 흘러갈 수 있습니다.

따라서 다음과 같이 displacement field $\bold{D}$를 새롭게 정의합니다:

$$\bold{D}=\epsilon_0 \bold{E}+\bold{P}$$

전기장을 만들어내는 것은 처음에 놓아준 free charge $\rho_f$와 $(-\nabla \cdot \bold{P})$가 되어

$$\nabla \cdot \bold{E}=\frac{(\rho_f - \nabla \cdot \bold{P})}{\epsilon_0}$$

의 관계를 만족합니다. 위와 같이 $\bold{D}$를 정하면

$$\nabla \cdot \bold{D} = \nabla \cdot ( \epsilon_0 \bold{E} ) + \nabla \cdot \bold{P} =\epsilon_0 \nabla \cdot \bold{E} + \nabla \cdot \bold{P} = \rho_f$$

가 되어버립니다. 결국 $\bold{D}$는 순전히 free charge에 의해서만 만들어진다고 이해할 수 있습니다. 한편, 많은 경우 $\bold{P}$는 $\bold{E}$와 선형적인 관계를 따르기 때문에, 이를 이용하면 $\bold{D}$로부터 $\bold{E}$도 알 수 있게 됩니다.

1.3. 정자기장(Static magnetic fields; magnetostatics)

후반부에서는 자기장을 만드는 다양한 방법, 그리고 만들어진 자기장을 계산하는 방법을 공부합니다. 자기장은 일반적으로 움직이는 전하에 의해 만들어집니다. 움직이는 전하는 곧 전류이니만큼, 교재에서는 자기장을 다루기 앞서 steady current 상황을 살펴봅니다. 밀도 $\rho$의 전하가 $\bold{u}$의 속도로 움직일 때 전류밀도 $\bold{J}$는

$$\bold{J} = \rho \bold{u}$$

로 정의됩니다. 한편 많은 경우 전기장과 전류밀도는 $\bold{J} = \sigma \bold{E}$의 관계를 가집니다. $\sigma$는 물질의 conductivity이며, 이 식은 물리학2와 기초회로이론 과목에서 다룬 Ohm의 법칙의 differential form이라고 생각할 수 있습니다.

이제 자기장에 대한 본격적인 논의로 넘어갑니다. 자기장은 Biot-Savart의 법칙에 의해서 다음과 같이 표현됩니다. ($\bold{B}$는 자기장, $\mu_0$는 free space의 투자율, $\rho(\bold{r}')$는 전하 분포를 나타냅니다.)

$$\bold{B}(\bold{r})=\int \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\bold{J}(\bold{r}') \times (\bold{r}-\bold{r}')}{|\bold{r}-\bold{r}'|^3} d^3 \bold{r}'$$

전기장의 경우와 비슷하게, $({\bold{\hat{r}}}/{r^2})$의 발산을 이용해 자기장 $\bold{B}$의 curl이 전류밀도 $\bold{J}$와 비례한다는 Ampere의 법칙

$$\nabla \times \bold{B} = \mu_0 \bold{J} \,$$

을 유도할 수 있습니다. 또한 전류가 대칭적으로 분포한 경우 Biot-Savart 법칙보다는 Ampere 법칙을 이용해 자기장을 쉽게 구할 수 있습니다.

자기장은

$$\nabla \cdot \bold{B} = 0$$

을 만족하는 solenoidal field이므로, 이는 곧 어떤 벡터장 $\bold{A}$의 curl로 볼 수 있음을 의미합니다. 즉,

$$\bold{B} = \nabla \times \bold{A}$$

를 만족하는 벡터장 $\bold{A}$가 존재하며, 이 $\bold{A}$를 magnetic vector potential이라고 부릅니다. 전기장에 대한 퍼텐셜 $V$에 상수가 더해져도 물리적인 상황이 변하지 않듯, $\bold{A}$에도 물리적인 상황을 바꾸지 않으면서 curl이 0인 벡터장을 더할 수 있습니다. 이러한 일종의 ‘적분상수’를 어떻게 결정할지는 전자기학에서 중요한 문제로 gauge transformation이라는 내용을 공부하면 알 수 있지만, 이 과목에서는

$$\nabla \cdot \bold{A} = 0$$

으로 고정하고 논의를 전개합니다. 이 조건을 Coulomb gauge라고 부릅니다. 여담이지만, 전자기장이 시간에 따라 변하는 상황에서는 Lorenz gauge라는 다른 조건을 이용합니다.

한편 고리 형태로 전류가 흐르면 고리의 면과 수직한 방향으로 자기장이 만들어지는데, 이러한 형태를 magnetic dipole이라고 합니다. 물질을 구성하고 있는 원자도 전자의 궤도운동과 스핀을 통해 magnetic dipole을 가지고 있다고 볼 수 있습니다(스핀을 다루려면 양자역학 수준으로 넘어가야 하므로, 여기에서는 classic한 수준에서 magnetic dipole을 다룹니다). 물질 내부의 magnetic dipole 밀도를 magnetization $\bold{M}$이라고 부릅니다. 이들 $\bold{M}$도 외부 자기장에 의해서 생겨나며 이 자기장에 영향을 끼치기 때문에, free current가 공간에 끼치는 영향만 고려하기 위해 다음과 같이 벡터장 $\bold{H}$를 새로 정의합니다(책에 따라 $\bold{H}$를 부르는 이름이 다르니, 이는 수업 중 교수님의 comment를 참고하는 것이 좋을 듯 싶네요):

$$\bold{H} = \frac{1}{\mu_0} \bold{B}-\bold{M}\,.$$

이 경우도 식을 정리해보면

$$\nabla \times \bold{H} = \bold{J}_f$$

가 되므로 free current를 이용하면 $\bold{H}$를 구할 수 있습니다. 또한 $\bold{M}$은 일반적으로 $\bold{H}$와 선형적인 관계가 있기에, 위 관계식을 통해 $\bold{B}$까지 알 수 있습니다.

2. 선배로서의 조언

솔직하게 말씀드리면 공학수학1의 상미분방정식, 공학수학2의 편미분방정식, 복소해석 내용을 공부하며 정말 힘들었습니다. 미적분학까지는 그래도 좌표공간을 친숙하게 다루어왔고 명제는 그 내용을 외우기 전에 자연스레 곱씹어 볼 여유가 있었는데, 공학수학은 일단 어떻게든지 머리에 쑤셔넣으라는 느낌이 강했었거든요. Legendre 방정식과 그것의 special function들은 시험은 봐야하니까 외우고, Laplace 방정식 같은 편미분방정식을 풀려면 일단 변수들을 분리해야 한다니까 분리를 하고, boundary condition이 중요하다니까 그냥 그런가보다 하면서 또 외우고, Cauchy-Riemann 방정식이나 conformal mapping도 일단 우겨넣었습니다. 시험은 넘겼지만 이후에 ‘내가 뭘 하고 있는지’ 하는 허탈함이 컸던 것 같아요.

이렇게 앞에서 언급한 개념들이 기초전자기학 및 연습 과목에 다시 등장합니다. 학문적으로도 전자기학은 중요한 위치를 차지하고 있지만, 학부생 입장에서 이 과목은 그 전까지는 일방적으로 주입받았던 수학 테크닉들이 각각의 의미를 찾아가는 과목인 것 같아요. 전자기학을 공부하면 우리가 세상을 보는 시야, 전자기장이 가지고 있는 성질, 혹은 공간의 전하와 전류 분포의 대칭성을 고찰하게 되는데, 그때마다 공학수학에서 살펴둔 개념들이 답을 찾아가는 길잡이가 되어 줍니다. 그 과정에서, 이전까지는 아득하게만 느껴졌던 수학이 도구로서 와닿게 된다고나 할까요. 저는 특히 boundary condition의 물리적 인상을 얻어갈 수 있었던 것이 인상 깊었어요. 상미분방정식의 initial condition이라고 하면 "특정 시점에서 위치와 속도가 결정되면 그 미래를 알 수 있다"는 문장이 떠오르곤 합니다. 하지만 boundary condition을 공부하면서는 그 의미를 떠올리기가 어렵지 않았나요? 만약 저와 비슷한 생각을 해보셨다면, 여러분도 기초전자기학을 통해 그 답을 찾을 수 있으리라 생각합니다. 그렇기에 어쩌면, 공학수학 책을 줄줄이 꿰고 있을 필요까지는 없더라도, 수학에 대해 열린 마음을 갖는 것이 기초전자기학을 잘 공부하는 하나의 방법일 듯 싶어요.

그렇다고 사전에 잘 익혀두어야 하는 수학 개념이 없는 것은 아닙니다. 우리가 전기장과 자기장을 벡터장으로서 이해하는 만큼, 수학2와 공학수학2 전반부에 배운 다변수함수의 미적분학, 벡터미적분학은 전자기학을 기술하는 언어로서 필수적이라고 할 수 있어요. 거의 한 학기 반 동안 공들여 익힌 내용들이 불쑥불쑥 튀어나오는 만큼, 적어도 수학2는 내가 잘 소화하고 있는지 수강 전에 확인해보기를 권합니다.

전기과 기초전자기학 과목에서는 Cheng의 Field and Wave electromagnetics을 주 교재로 사용합니다. 저자가 통신공학을 전공했기 때문일까요, 확실히 내용에 공학적인 분위기가 폴폴 풍깁니다. 전기장이 걸린 상황을 축전기들의 연결로 바꾸어 이해하거나, 자기선속을 일종의 (magnetic) current로 바라보고 변압기 문제를 저항회로처럼 푸는 등, 엔지니어로서의 직관이 돋보이는 접근이 곳곳에 실려 있습니다. 분명 공학도로서 앞으로 마주할 여러 문제를 헤쳐나가는 데에는 좋은 방법이겠습니다만, 좀더 원론적인 내용을 찾아보고 싶다면 다른 책을 참고해도 좋아요. 저는 Griffiths의 Introduction to Electrodynamics 책을 자주 참고하면서 공부했는데, 물리천문학부에서 교재로 쓰는 책이기도 하고 친절한 설명과 notation으로 유명한 만큼 같이 읽어보기를 추천드립니다. 분반에 따라서는 참고 교재로 들어가기도 하는 것 같으니 확인해보세요!

3. 후속 과목과의 연계

3.1. RF 분야

전기공학 하면 가장 먼저 떠오르는 분야가 바로 전자기파를 이용하는 RF 분야 아닐까 싶습니다. 이 분야에서는 전파에 정보를 실어 보내기 위한 안테나 및 회로 설계를 연구합니다. 기초회로이론 과목에서 이미 시간에 따라 전압과 전류가 변하는 교류 회로를 다루었지만, 그러한 접근은 사실 신호의 파장이 회로의 크기에 비해 한참 길 때만 잘 적용되는 방법입니다. 주파수가 kHz 단위를 넘어서 MHz 단위에 이르면 회로를 흐르는 신호들의 위상이 겹치거나 끊겨 있는 두 도체가 축전기처럼 기능하는 등의 현상이 발생하게 됩니다. 이러한 효과들을 고려하여 회로를 설계하려면 회로이론뿐만 아니라 시간에 따라 변하는 전자기장의 특성을 잘 알고 있어야 합니다. 이 내용은 3학년 전자기학, 4학년 전파공학 등의 과목에서 다루며, 이들을 공부하기 위해서는 기초전자기학 및 연습 과목의 내용들을 잘 숙지해야 하겠습니다.

3.2 반도체 분야

순수한 결정에 불순물을 주입하는 도핑 과정을 거치면 conduction band의 전자와 valence band의 hole 농도를 조절해 반도체의 conductivity를 능동적으로 바꿀 수 있습니다. 잘 알려져 있듯 도핑된 반도체는 어떤 종류의 불순물을 이용하는지에 따라 n형과 p형 둘로 나뉘며, 이 둘을 접합하면 그 사이에 depletion region이 형성되어 전기장이 만들어집니다. 이 전기장 덕분에 다이오드는 전류의 방향을 조절할 수 있고 bipolar transistor는 신호를 증폭할 수 있게 되므로, 전기장을 계산하는 것이 소자를 연구하고 설계하기 위해 중요하다고 할 수 있습니다. 기초전자기학에서 공부하는 Poisson 방정식은 각 energy band에 분포하는 전하 농도로부터 반도체 소자 내부의 전기장을 계산할 수 있도록 해줍니다. 이를 이용하면 소자의 전류-전압 특성을 유도하고 다양한 반도체 소자의 구조를 해석할 수 있습니다. 반도체 소자의 물리적인 특성을 이해하기 위해서도 전자기학에 대한 소양은 어느 정도 필요하다고 할 수 있습니다.

3.3 전자물리 분야

전자기장은 공간을 가로질러 다른 물질들과 상호작용할 수 있습니다. 분자들 각각은 원자핵과 전자로 인해 electric dipole을 가지게 되는데, 이들이 전자기장 안으로 들어가면 빛을 흡수하거나 내놓으면서 전자기장과 에너지를 주고받게 됩니다. 이렇게 물질의 에너지 상태가 바뀌는 흡수와 자발 방출, 유도 방출의 과정들은, 양자역학의 성공적인 응용 사례 중 하나인 레이저가 작동하는 원리가 됩니다.

비록 아원자 입자들을 다루려면 양자역학의 가정과 형식 등을 새로 공부해야 하지만, 전자기장 속 입자 시스템의 에너지 등의 개념들은 결국 기초전자기학에서 공부한 내용에 기반한 것들입니다. 다소 딱딱하고 지루하게 느껴질 수도 있는 기초전자기학의 내용들이 본격적으로 의미를 갖기 시작하는 것은 3학년 때부터인듯 싶습니다. 지금 하고 있는 공부가 다양한 전공분야들을 바라보는 시야를 넓혀주는 만큼, 그 기반을 2학년 때 잘 다져놓으면 좋겠습니다.

4. 맺음말

전자기학은 전자물리나 광학, 전파공학 등의 분야로 진학하고자 한다면 기본으로 요구되는 과목입니다. 이 분야에 관심이 없더라도 하드웨어를 어느 정도 다루는 분야로 진학을 꿈꾸고 있다면 전자기학을 공부한 지식과 경험이 도움이 될 것이라 생각합니다. 직접적으로 물리와 관련된 분야뿐만 아니라 MRI나 통신 등 다양한 분야에서 알게 모르게 사용되고 있는 범용적인 과목인 만큼, 전기공학도로서 여러분이 기초전자기학의 내용을 잘 알아두었으면 하는 바람입니다!