인간 최적화 - 부드러운 손 궤적 : 최소절크모델#1

부드러움이란 무엇일까?

안녕하세요!. 첫 글은 저번 시간에 말씀드린 커피를 잡는 모션에 대한 더 얘기를 해보려 합니다.

지난 시간에 우리가 커피를 잡는 모션이 매우 다양하지만, 움직임이 정형화되어있다고 얘기했어요.

오늘은 그 이유에 대해 과학자들이 어떻게 설명하는지 얘기해보려 합니다. 

우리가 물건을 손으로 잡을때 한 가지 가정은  물건을 잡을 때까지 손을 최대한 부드럽게 움직인다는 것입니다.

그렇다면 부드러움을 어떻게 식으로 표현할수 있을까요?

그 식이 바로 “최소 절크 모델(minimum jerk model)”입니다.

최소 절크 모델

“최소 절크 모델”은 부드러움을 수학적으로 표현하는 모델입니다.

우리의 손은 다음과 같이 움직입니다.

주어진 시간( $0$ 초 ~ $t_0$ 초) 동안 손이 위치1 에서 위치 2로 움직인다면
손은 궤적이 가장 부드럽도록 움직여야 한다.

 

최소절크모델을 확인하는 손의 궤적을 확인하는 실험

 

여기서 “최소 절크 모델”은 “절크”값이 최소화될수록 그 움직임이 부드럽다고 가정합니다.

궤적의 “절크”값이 작을수록 , 부드러운 곡선의 궤적이 만들어진다.

여기서 “절크”가 무엇인지 조금 설명해 볼게요.

위치를 한번 미분하면 속도가 되고, 속도를 한번 미분하면 가속도가 되죠?

여기서 우리가 속도를 시간에 대해서 한 번 더 미분하면 “절크(jerk)” 라 표현합니다.

$$속도=\frac{위치}{시간},\;\;\;가속도=\frac{속도}{시간}\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;절크 = \frac{가속도}{시간}$$

이제부터 약간의 수학이 들어가요.

우리 손의 위치를 $(x(t),y(t))$ 라고 해볼게요.

그렇다면 속도는 $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ , 가속도는 $(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t))$ 으로 표현이 되겠죠?

그렇다면 jerk는 $$(\frac{d^3x(t)}{dt^3 },\frac{d^3y(t)}{dt^3 })$$ 로 표현이 됩니다.

따라서 궤적 전체에 대한 “절크”값은 적분 값이 되고 ,

최소 절크 모델은 다음 함수를 최소화시킵니다.

$$C=\frac{1}{2}\int_{0}^{t_0}((\frac{d^3x(t)}{dt^3 })^2 +(\frac{d^3y(t)}{dt^3 })^2)dt$$

여기서 손의 처음 위치를 $r(0)=(x_0 ,y_0)$ , 나중 위치를 $r(t_f) =(x_f,y_f)$ 라 하게 된다면 이 문제는 다음과 같이 최적화 문제로 표현될 수 있습니다.

주어진 시간( $0$ 초 ~ $t_0$ 초) 동안, 손이 처음 위치 $r(0)$ 에서 나중 위치 $r(t_f)$ 로 움직인다면 손은
$$C=\frac{1}{2}\int_{0}^{t_0}((\frac{d^3x(t)}{dt^3 })^2 +(\frac{d^3y(t)}{dt^3 })^2)dt$$
을 최소화시키는 궤적 $(x(t) , y(t))$ 를 구하시오.

이제 우리는 “손의 궤적을 부드럽게 움직여라”를 위와 같이 수학 문제로 바꾸어 보았습니다.

이 문제를 pontryagin minimum principle 방법으로 풀면 다음과 같이 나옵니다.(나온다고 합니다…..)

$$x(t) = x_0 +(x_0-x_f)(15\tau^4 -6\tau^5-10\tau^3)$$ $$y(t) = y_0 +(x_0-y_f)(15\tau^4 -6\tau^5-10\tau^3)$$
여기서 $\tau=\frac{t}{t_f}$ 입니다.

최소 절크 모델과 실제 손의 움직임 비교

 

이제 실제 손의 움직임과 위에서 구한 식을 비교해보았더니 다음과 같이 결과가 나왔습니다. 

(차례대로) 1. 점 T1에서 점 T4로 손을 움직이는 task. 2. 점 T6에서 점 T3으로 손을 움직이는 task.

이때 점선이 실제 실험에서 구한 손의 궤적 , 실선이 앞서 계산한 손의 궤적의 예측값을 나타납니다. 

그림을 봐도 예측값이 실제 궤적 실험값과 어느 정도 일치함을 알 수 있죠? 

최소 절크 모델의 한계점 

하지만 이 최소 절크 모델은 여러 한계점을 가지고 있습니다. 

가장 큰 한계점은 사실 처음 위치와 나중 위치가 정해져 있으면 손의 궤적이 완전히 결정된다는 것입니다. 

그래서 이후에, 이 모델에 한계점이 있음을 밝힌 여러 실험들이 진행되었습니다. 

다음 시간에는 최소 절크 모델의 한계점이 무엇인지, 그리고 다른 모델은 무엇이 있는지에 대해서 설명해드릴게요.

오늘은 여기까지!