예시로 알아보는 반응공학: 1번째, 몰 수지(2)

 

 

 

예시로 알아보는 반응공학: 1번째, 몰 수지(2)

안녕하세요! 지난 시간에는 여러분들과 일반적인 몰 수지식을 공부하고, 반응기의 종류 중 회분식 반응기의 설계방정식을 세워보는 연습까지 진행했습니다. 오늘은 나머지 흐름식 반응기들에 대해서 마찬가지로 몰 수지식을 적용해서 설계방정식을 세우고 반응기의 구조를 이해해보도록 하겠습니다!

반응기의 종류

우선 지난번 글에서 공부했던 반응기의 분류를 잠깐 다시 보고 올까요?

반응기의 종류에는 이렇게 회분식과 흐름식이 있는걸 확인할 수 있습니다. 그 중 지난 글에서는 회분식 반응기가 무엇인지 알아봤습니다. 이어서 이번 글에서는 위 그림에 있는 여러 흐름식 반응기에 대해서 알아보도록 하겠습니다! 우선 흐름식 반응기가 무엇인지 간단하게 알아보겠습니다. 흐름식 반응기는 회분식과는 다르게 반응기로 들어가고 나가는 흐름이 있는 반응기라고 크게 이해할 수 있습니다. 이러한 흐름식 반응기에는 어떤 종류의 반응기가 있을까요? 지금부터 함께 알아보겠습니다!

2. 연속 교반 탱크 반응기(CSTR)
먼저 알아볼 반응기는 CSTR입니다! CSTR은 아래와 같이 생긴 반응기로, 이상적인 CSTR은 정류 상태 및 완전한 혼합 상태에서 작동합니다. 그러면 예시를 통해서 CSTR의 설계방정식을 알아보도록 하겠습니다!

이번에 다뤄볼 예시는 에틸렌 글리콜의 합성입니다. 에틸렌 글리콜은 자동차 부동액 등으로도 잘 알려져 있는 물질인데요, 아래 그림은 산화 에틸렌을 반응시켜서 이러한 에틸렌 글리콜을 합성하는 반응의 반응식을 나타낸 그림입니다.

이 경우에 반응물인 산화 에틸렌을 반응물 A라고 하고 식을 정리해 봅시다. 정류 상태임을 가정하기 때문에 반응기 내에 축적되는 A는 존재하지 않는다는 점과, 완전한 혼합이 되어 반응기 내에서의 반응 속도가 일정하다는 점에 유의해서 몰 수지식을 쓰면 다음과 같이 나타납니다.
$$F_{A0}-F_{A}+r_{A}V=0$$ (이때 $F_{A0}$와 $F_{A}$는 각각 반응기로 들어오는/나가는 A의 몰 유량을 의미하고, $r_{A}$는 A의 반응 속도, V는 반응기의 부피를 의미합니다.) 이 식을 부피 $V$에 대해 정리하면 다음과 같이 CSTR의 설계 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$V=\frac{F_{A0}-F_{A}}{-r_{A}}$$ 이 식은 앞서 다룬 회분식이나, 앞으로 다룰 반응기들과는 다르게 미분식이 아님에 주목해주세요! 다음 게시물에서 다룰 예정이지만, 이 식은 A가 xx% 반응될 때 필요한 반응기의 크기를 예측하는 데 사용할 수 있습니다. 다음 게시글에서 자세한 내용을 공부해 보아요~!

3. 플러그 흐름 반응기(PFR)
그 다음으로는 PFR에 대해 알아보도록 하겠습니다! 지금부터 다룰 반응기들은 관형 반응기, 즉 일종의 파이프로 된 반응기로 생각할 수 있습니다. 그 중 PFR은 아래와 같이 생긴 반응기로, 관 입구로 물질이 들어와서 관 출구로 빠져나가는 모습을 상상할 수 있습니다. 이상적으로 PFR은 정류 상태에서 작동하고, 모든 흐름이 축 방향으로만 흐른다고 가정합니다. 그렇다면 예시를 통해서 이러한 PFR에 대해 자세히 알아보도록 해볼까요?

PFR을 사용하는 예시 반응은 에테인의 크래킹 공정이 있습니다. 석유로부터 얻어지는 에테인($C_{2}H_{6}$)은 포화 탄화수소로, 그 자체로는 반응이 어려운데요, 석유 가공 공정에서는 주로 이런 에테인에 수소를 제거하여 에틸렌($C_{2}H_{4}$)을 합성하는 크래킹(cracking) 반응을 통해 산업적으로 유용한 에틸렌을 얻게 됩니다. 아래 그림은 이러한 에테인의 크래킹 반응식과 크래킹을 진행하는 공장의 모습입니다.

By Rolf Kickuth - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=98933550

이 경우에 반응물인 에테인을 A라 두고 식을 정리해 봅시다. 앞선 경우와는 다르게 이번에는 관 입구 쪽이 출구 쪽보다 반응물의 농도가 높게 되고, 그렇게 되면 반응 속도가 일정하지 않게 됨을 확인할 수 있습니다. 이 문제를 어떻게 해결할 수 있을까요?

이를 해결하기 위해서 이번에는 위 그림처럼 충분히 반응 속도가 일정하다고 가정할 수 있는 조그마한 부피로 잘라서 문제를 바라보게 됩니다. 입구로부터의 부피가 V인 지점부터, $V+\Delta V$인 지점 사이에서 반응 속도가 $r_{A}$로 일정하다고 가정하겠습니다. 이 경우 정류 상태이므로 축적이 없다는 점을 생각하면 몰 수지식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$F_{A}(V)-F_{A}(V+\Delta V)+r_{A}\Delta V=0$$ 이 식을 다시 정리하면 다음과 같이 변합니다. $$r_{A}=\frac{F_{A}(V+\Delta V)-F_{A}(V)}{\Delta V}$$ 미분계수의 정의에 의해서$\Delta V$가 0에 매우 가깝게 다가가면 식은 다음과 같이 PFR의 설계 방정식을 얻을 수 있습니다. $$\frac{dF_{A}}{dV}=r_{A}$$ 이때 만약에 A의 몰 유량이 1mol/s에서 0.1mol/s으로 변한다면, 얼마나 큰 반응기가 필요할까요? 위 식을 적분해보면 그 결과를 알 수 있습니다. 식을 새로 정리한 다음에 적분을 진행해보면 다음과 같은 식으로 얻어낼 수 있습니다.$$V=\int_{0}^{V}{dV}=\int_{1}^{0.1}{\frac{1}{r_{A}}dF_{A}}$$ 이 계산 결과로 원하는 반응의 수율에 필요한 반응기의 부피를 얻알 수 있습니다!

4. 충전층 반응기(PBR)
마지막으로 PBR에 대해 알아보도록 하겠습니다! PBR은 아래와 같이 생긴 반응기로, PFR과 유사한 형태지만 관 내부에 촉매가 차 있는 형태라고 생각하면 될 것 같습니다. 이런 반응기는 유체-고체의 불균일 시스템이라고 생각할 수 있습니다. 이에 따라서 반응 속도 역시 조금 다르게 정의가 됩니다. $-r_{A}'$이라는 새로운 반응 속도를 $-r_{A}'=(반응한\space A의\space몰수)/(시간\times촉매의\space질량)$으로 정의하게 됩니다. 단위 부피 대신 단위 촉매의 질량이 들어간 것에 주목할 수 있겠네요. 이제 이러한 반응 속도를 이용해서 PFR과 매우 비슷한 PBR의 설계 방정식을 예시를 통해서 알아봅시다!

PBR을 사용하는 예시로는 Water-Gas Shift reaction (WGS reaction)이 있습니다. 반응의 이름은 복잡한데요, 사실 반응식을 보면 친숙한 분자인 일산화탄소와 물의 반응으로 이산화탄소와 수소를 합성하는 반응입니다. 이 반응은 수소 합성 반응으로 주목을 받고 있는 여러 반응 중 하나라고 이야기할 수 있습니다. 아래 그림은 이러한 WGS 반응의 반응식과, 대략적인 반응의 진행 과정을 나타낸 그림입니다.

Zwickipedia, CC BY-SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, via Wikimedia Commons

이번에는 반응물인 일산화탄소를 A라고 두고 식을 정리해 보도록 하겠습니다! PFR과 모습이 비슷한 만큼 식도 아주 유사하지만, 이번에는 아래 그림과 같이 부피가 아닌 촉매의 질량을 단위로 몰 수지식을 나타내게 됩니다.

그 결과는 다음과 같은 몰 수지식으로 나타납니다. $$F_{A}(W)-F_{A}(W+\Delta W)+r_{A}'\Delta W=0$$ PFR과 비슷하게 정류 상태 및 축 방향의 진행을 가정했다는 사실을 기억해 주세요~! 식의 모습이 PFR에서 변수를 W로 바꾼 모습으로 나타나는 것을 확인할 수 있나요? 그렇다면, 마찬가지의 방법으로 PBR의 설계 방정식 역시 얻을 수 있습니다.$\Delta W$가 0에 인접하게 다가간다면, 위 식은 다음과 같은 PBR의 설계 방정식으로 정리됩니다. $$\frac{dF_{A}}{dW}=r_{A}'$$ 마찬가지로 1mol/s의 몰 유량에서 0.1mol/s의 유량까지 반응을 시킬 때 필요한 촉매의 질량을 구하면 다음과 같이 계산할 수 있음은 PFR의 계산 과정으로부터 유추할 수 있을 것이라고 생각해요! $$W=\int_{0}^{W}{dW}=\int_{1}^{0.1}{\frac{1}{r_{A}}dF_{A}}$$

용어 정리

오늘은 여러분들과 함께 CSTR, PFR, PBR의 설계 방정식에 대해 알아보았습니다. 어려운 부분이 있거나 궁금한 부분, 제안 사항이 있다면 답글로 남겨주세요!!
오늘 사용한 용어는 아래 표를 참고해 주시면 감사하겠습니다.
<사용 용어 표>

한국어 명칭	영어 명칭
흐름식 반응기	flow reactor
연속 교반 탱크 반응기(혼합 흐름 반응기)	CSTR, continuous stirred tank reactor
관형 반응기	tubular reactor
플러그 흐름 반응기	PFR, plug flow reactor
충전층 반응기	PBR, packed bed reactor