#2-2nd order ODE (0.basic)

#어디까지 왔니?

참새와함께하는 기초 공학수학 #7 - 2nd order ODE (0. 기본 지식)

2nd order ODE 를 시작하며……

네 드디어, 1차 ODE를 끝내고 2차 ODE를 풀게 되었습니다. 1차 ODE 에서 푸는 기술들은 ODE를 푸는데에 있어 정말 기본중의 기본이니까, 나중을 위해서라도 1차 ODE를 탄탄히 다져 놓는 것이 중요할 것 같네요 ㅎㅎㅎ

이번시간에는 2차 ODE를 푸는 데에 있어, 가장 기본이 되는 몇 가지 원론적인 이야기들을 해보려 합니다. 다음시간부터는 실질적인 풀이 방법에 대해 다룰거구요! 시작해 볼까요?ㅋㅋ

basic skills

0. 해가 몇 개일까?

일반적으로, 2nd order ODE의 해는 2개 입니다. 심지어 1개밖에 나오지 않으면 억지로 1개를 더 찾기 위해 #3. 에서 처럼 해를 찾아나가는 과정이 있을정도로….ㅋㅋㅋ네 항상 두 개가 나온다는 사실을 기억해 두시구요, 눈치채셨겠지만 3rd order ODE 는 3개의 해가 존재합니다 ㅎㅎ
그런데 주의해야할 건, 해가 2개라는 건 ‘basis’ 가 두 개라는 겁니다. ‘기저’라는 말을 들어봤나요?ㅋㅋ 바로 밑의 ###1 에서 또 다른 해를 만드는 것을 보고 헷갈릴 수도 있을 것 같아서 말씀드렸습니다 ㅎㅎ

# 1. Superposition principle(중첩의 원리)

‘중첩의 원리’라고 부르는데요, 요약하자면 이렇습니다.

• $y_1$ 과 $y_2$가 2차 homogenous ODE의 해라면, 상수 $c_1 , c_2$ 에 대하여 $c_1 y_1 + c_2 y_2$도 그 ODE의 해이다.
  단, $y_1 / y_2$는 상수가 아니다.

증명을 굳이 해야하나 싶..을정도로 좀 당연해 보이죠?ㅋㅋ 여기서 <$y_1 / y_2$는 상수가 아니다.>라는 조건은 ‘기저’라는 것을 의미합니다. ###2. 에서 좀 더 자세히 다뤄보기로 해요 ㅎㅎ

• 어떤 ODE가 이렇게 주어져 있다고 합시다.
  $$\frac {d^2 y }{d x^2 } + \frac {dy}{dx} p(x) + q(x) y =0$$
  그러면 $y_1$ 과 $y_2$는 이 식을 만족하겠죠? 이렇게 ㅎㅎ
  $$\frac {d^2 y_1 }{d x^2 } + \frac {dy_1}{dx} p(x) + q(x) y_1 =0$$
  $$\frac {d^2 y_2 }{d x^2 } + \frac {dy_2}{dx} p(x) + q(x) y_2 =0$$
  윗 식에 $c_1$을 곱하고, 아랫 식에 $c_2$를 곱해서 더해보면 이렇게 될겁니다.
  $$\frac {d^2 (c_1 y_1 + c_2 y_2 )}{d x^2 } + \frac {d(c_1 y_1 + c_2 y_2) }{dx} p(x) + q(x) (c_1 y_1 + c_2 y_2 ) =0$$
  네 그렇죠? $(c_1 y_1 + c_2 y_2 )$ 가 통째로 해가 되어 들어간 겁니다.

즉, 두 기저 $y_1, y_2$에 대해 각각에 상수를 곱한 다음 더하면 그것도 해가 된다는 뜻입니다.

#2. Wronskian : basis 인가?

아까부터 계속 말했던 basis, 기저라는 건, ‘선형독립.’인가? 를 의미합니다. 물론 변수가 두 개 밖에 없는건 나눠서 상수가 되지만 않으면 ‘선형 독립’이라고 할 수 있지만, 변수가 세 개 이상이 되면 이런 방법으로 따지기가 상당히 어렵기 때문에, Wronskian 이라는 행렬을 이용해서 따지게 됩니다.

$$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 &y_2 \\ \frac{dy_1}{dx} &\frac{dy_2}{dx} \end{vmatrix}$$

첫 행에는 미분하지 않은 것, 두번째 행에는 한 번 미분한것…. 이런식으로 원소의 개수가 n개라면 아래와 같은 정의를 만족하게 됩니다.

$$W(y_1, y_2, ... , y_n) = \begin{vmatrix} y_1 &y_2& ... & y_n \\ \frac{dy_1}{dx} &\frac{dy_2}{dx} & ... & \frac{dy_n}{dx} \\ ...\\ \frac{d^{n-1} y_1}{dx^{n-1}} & \frac{d^{n-1} y_2}{dx^{n-1}}& ... & \frac{d^{n-1} y_n}{dx^{n-1}}\end{vmatrix}$$

아이고 힘들어

양쪽에 있는 || 이 표시는 행렬의 절댓값을 말하는 표시인거 아시죠? 그러면 $W(y_1, y_2)$ 의 값은 이렇게 될겁니다.

$$y_1 \frac{dy_2}{dx} - y_2 \frac{dy_1} {dx}$$
이 값이 0이라면, 선형 종속 이기 때문에 basis 가 안되고, 이 값이 0 이 아니어야만 선형 독립이 되어 구한 해가 basis 의 역할을 하게 되는 겁니다.

#3. 차수축소법(reduction of order) : 기저 하나만 알고 있을 때.

2차 ODE는 basis, 기저가 두 개 라고 했었죠? 그런데 하나의 기저를 이미 알고 있는 경우, 나머지 하나의 기저를 알 수 있는 방법이 있습니다. 바로 ‘차수축소법’, reduction of order 라는 방법이에요.
$y_1$만 알고 있을 때, $y_2$를 구하고 싶다면 $y_2 = u(x) y_1$ 이라 두고 원래의 ODE에 대입해서 $u(x)$를 구하는 과정입니다.
문자로 표현을 먼저 해보고, 이해하기 쉽게 예시를 하나 들어볼까요?

• 원래의 방정식
  $$\frac{d^2 y }{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y =0$$
  에서, 하나의 기저 $y_1$을 알고 있는 상황.

그렇다면, 나머지 기저하나가 $y_2 = u(x) y_1$ 요렇게 생겼다고 가정하고, 원래의 방정식에 다시 넣어줍니다. 그 전에, 일차/이차 미분값은 미리 계산을 해둘까요?
$$\frac{dy_2} {dx} = \frac{du}{dx} y_1 + u \frac{dy_1}{dx} \\ \frac{d^2y_2} {dx^2} = \frac{d^2u}{dx^2} y_1 + 2 \frac{du}{dx} \frac{dy_1}{dx} + u \frac{d^2y_2}{dx^2}$$
네 그렇다면………
$$\frac{d^2 y_2 }{dx^2} + p(x) \frac{dy_2}{dx} + q(x) y_2 =0$$
여기다가 위에서 계산한 것들을 다시 넣으면….
$$(\frac{d^2u}{dx^2} y_1 + 2 \frac{du}{dx} \frac{dy_1}{dx} + u \frac{d^2y_2}{dx^2}) + p(x) (\frac{du}{dx} y_1 + u \frac{dy_1}{dx}) +q(x) u y_1 =0$$
ㅋㅋ 적당히 정리를 해봅시다. 일단 $u(x)$가 곱해진 항들끼리만 묶어보면,
$$u(\frac{dy_1}{dx^2} + p(x) \frac{dy_1}{dx} +q(x) y_1 ) \\ +\frac{d^2u}{dx^2} y_1 + 2 \frac{du}{dx} \frac{dy_1}{dx} +p(x) \frac{du}{dx} y_1 =0$$
이렇게 됩니다. 일단 $y_1$은 원 방정식의 해니까, $u(x)$로 묶여진 저 항은 0으로 날아갈거고, 방정식을 다시 정리해보면 이렇게 될겁니다.
$$\frac{d^2u}{dx^2} y_1 + \frac{du}{dx} ( 2\frac{dy_1}{dx} +p(x) y_1 ) =0$$
이제 $U = \frac{du}{dx}$로 잠시 치환을 해주면, 1차 ODE꼴을 볼 수 있습니다.
$$\frac{dU}{dx} y_1 + U(2\frac{dy_1}{dx} +p(x) y_1 ) =0$$
$$\frac{dU}{dx} y_1 =- U(2\frac{dy_1}{dx} +p(x) y_1 )$$
Separation of variables 를 통해 $U$를 구해볼까요?
$$\frac{dU}{U} = -(2 \frac{{dy_1}/{dx}}{y_1}+ p(x) ) dx$$
$$\int \frac{dU}{U} = \int -(2 \frac{{dy_1}/{dx}}{y_1} ) dx + \int(-p(x))dx$$
$$\ln U = -2\ln y_1 -\int p(x) dx$$
$$U= \frac{1}{y_1 ^2 } \exp (- \int p(x) dx)$$
그러면 손쉽게 $u$를 구할 수 있고, 그러면 $y_2$가 나올 겁니다. ㅎㅎㅎ 식으로 표현하려다 보니 너무 식이 복잡해 졌죠?
사실, 이후의 포스팅에서 소개할 여러 방법들로 풀기 힘든 ODE의 경우, 직관적으로 $y_1$하나를 찍은 다음에 나머지 해를 구하는 과정이 바로 이 차수축소법입니다. 그래서, 여러분들이 문제를 풀 때 가끔 $y_1$이 주어져있지 않더라도 당황하지 않고 간단한 몇가지 함수($y=x, y=e^x$)를 대입해서 $y_1$을 구하려는 노력을 해보는 것이 필요합니다!

간단한 한가지 예를 들어 봅시다 ㅎㅎ

$$\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{dy}{dx}=0$$

이런 식을 보면, $y=e^x$라는 해가 하나 존재할 거라는 사실을 직감적으로 알 수 있습니다.우리는 공대생이니까... 따라서, 차수축소법을 통해 나머지 해를 구해봅시다.
$y_2 = ue^x$라고 두고,
$$\frac {dy_2}{dx} = \frac{du}{dx} e^x + ue^x \\ \frac{d^2 y_2} {dx^2} = \frac{d^2 u }{dx^2} e^x + 2 \frac{du}{dx} e^x + ue^x$$

이것을 원래의 방정식에 대입합니다.
$$(\frac{d^2 u }{dx^2} e^x + 2 \frac{du}{dx} e^x + ue^x )- (\frac{du}{dx} e^x + ue^x)=0$$
$$\frac{d^2 u}{dx^2}e^x + \frac{du}{dx} e^x =0$$
양변에서 $e^x$를 지우고, $\frac{du}{dx} = U$로 치환하면
$$\frac{dU}{dx} + U=0$$
이런 식으로 정리될 겁니다. Separation of variables 방법으로 풀어보면, $U = e^{-x}$ 라는 결과를 얻고, $u=-e^{-x}$ 이므로 $y_2 = -1$이라는 기저를 얻게 됩니다.

조금 황당한가요? 문자가 아닌 숫자가 기저로 나올 수도 있습니다 ㅎㅎㅎ 보통 2차 ODE에서는 해를 나타낼 때 중첩의 원리에 따라, 아래와 같이 표현을 해주게 됩니다.
$$y= c_1 e^x + c_2$$

다음 시간엔..

지금까지, 세 가지 skill 들을 배워보았습니다. 중첩의 원리, Wronskian, 차수축소법! 앞으로 계속해서 쓰일 거니까 기본으로 숙지해 두고, 다음시간부터 2차 ODE를 본격적으로 풀어보겠습니다. 꼭 숙지해 두시길!