#1-1st order ODE (4.못다한 이야기들)

잠깐! $\frac{\partial y}{\partial x}$ 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!!

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#어디까지 왔니?

잠깐! $\frac{\partial y}{\partial x}$ 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!!

# 번외 1. Bernoulli equation

1차 ODE에 대한, 뭐라 분류하기 뭐해서 아직 하지 못했던 이야기들 중 하나인, Bernoulli equation 에 대한 이야기를 간략히 해보려고 합니다. 저번시간에 linear, 선형 ODE에 대한 이야기를 했었어요.
그런데 아래의 식은 말입니다,

$$\frac{dy}{dx} + p(x) y = g(x)y^a$$

분명 형태로만 보면 non-linear 한 모양인데, 풀 수 있는 방정식입니다. 요놈의 이름이 바로 Bernoulli equation이에요. 유체역학을 공부하시는 분이라면 많이 들어봤을 이름이죠? ㅋㅋㅋ 참 여러분야에 걸쳐서 괴롭히네요...

어떻게 푸느냐면 말입니다,

1. $u=y^{1-a}$를 준비하고,
2. 양변을 $x$에 대해 미분해줍니다.
   $$\frac{du}{dx} = (1-a) \frac{dy}{dx} y^{-a}$$
3. 가만히 보면, 처음의 식에서 $\frac{dy}{dx}$의 형태가 보입니다.
   $$\frac {dy}{dx} = -p(x)y +g(x) y^a$$
4. 이제 귀찮지만 대입을 ㅠㅠㅠ 해줍시다.
   $$\frac{du}{dx} = (1-a) ( -p(x)y +g(x) y^a) y^{-a}$$
   $$=- p(x)y^{1-a} (1-a) +(1-a)g(x)$$
5. 어 그런데……아까 $u=y^{1-a}$라고….
   $$\frac{du}{dx} =- p(x)u (1-a) +(1-a)g(x)$$
   $$\frac{du}{dx} +(1-a) p(x) u = (1-a) g(x)$$

어디서 많이 본 형태 같나요?ㅋㅋㅋ non-homogeneous 한 1차 ODE 형태랑 꼭 닮았죠? 양변에 Integrating factor를 적절히 찾아내어 곱해주면, 풀 수 있는 방정식으로 변합니다. 우변에 곱해진 $y$항이 사라지고, $u$에 대한 새로운 방정식이 되면서 linear 한 모양이 되었죠? ㅋㅋㅋ 참 머리가 좋은 것 같아요….. 예제 한문제를 통해 어떻게 푸는지 간단히 파악하고 넘어가 봅시다 ㅎㅎ

#Problems 5.1

1. 
   $$Ay -By^2 = \frac {dy}{dx}$$

# 번외 2. IVP, Initial value problem

IVP가 뜬금없이 왜나오냐구요? ㅋㅋ 지금까지 우리는 적분상수를 그대로 놔둔 결과만을 보아왔습니다. 하지만 그렇게 하면 사실, 수학적인 의미만 있고 공학적인 의미를 많이 가지는 solution 이라고 말할 수는 없어요. 왜냐하면, 공대생의 해결에는 항상 경계조건, 초기조건이 있기 때문이죠. 경계조건(Boundary Condition)은 BC 라고, 초기조건(Initial Condition)은 IC라고 부르는데요, 이것을 이용해서 완전한 해를 이끌어 내는 것이 우리 엔지니어들의 목표입니다. 그래서, 무미건조했던 문제들에 조건을 붙여서 적분상수 $C$가 아닌, 완전한 수식을 얻게 됩니다.
나중에 PDE를 할 때 더 자세히 말하겠지만, 경계조건과 초기조건은 미분하는 횟수와 미분 변수의 수에 따라 결정됩니다. 우리가 지금 하는 1차 ODE는 하나의 변수로 한번만 미분해준 것이니까, 하나의 조건만 있으면 됩니다. 또, 지금은 시간에 대한 고려를 해주지 않고 있으니까 BC와 IC를 아직은 구분하지 않는 것으로 합니다. PDE를 풀 때 다시 한 번 다룰테니, 그냥 그렇구나~라고만 하고 넘어갑시다 지금은 ^0^ (그리고 1차 ODE 항목에서는 책을 따라 IVP,즉 initial value 라고 표현하겠습니다.)

예를 들어, 우리가 제일 처음 풀었던 separating variables에 해당하는 문제가 이거였습니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$$
여기에 IVP로 조건을 주게되면,
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}, y = 1~~ at~~ x=1$$
요런식으로 문제가 주어지는 겁니다.
이 문제의 해는 $y=cx$ 였는데, 이제 $x$가 $1$일 때 $y$가 $1$이라는 조건이 주어져있으니까, $y=x$라는 완전한 해를 얻을 수 있습니다.

지금까지 풀었던 문제들은 제가 예제를 어딘가에서 가져오면서, 초기조건을 지운채로 냈던 거였는데요, 앞으로는 초기조건이 있는 문제와 초기조건이 있는 문제를 같이 섞어서 내려고 합니다. 당황하지 않고 적분상수 C를 구해주면 OK~

# 진짜 끝!

1차 ODE에 대한 이야기를 이렇게 마쳤습니다. 1차 ODE를 푸는 방법으로 여러가지를 배웠습니다. 정리해볼게요~

1. Separating variables
2. Substitution + Separating variables
3. Exactness test
3-1.Exact 한 경우
3-2. non-Exact한 경우
4. general 한 linear 꼴
4-1. homogeneous - 이건 Separating variables 랑 똑같이!!
4-2. non-homogeneous
5. 특수한 Bernoulli equation - 지금 했죠!

다음시간 부터는 드디어!! 재미없는 1차를 (?) 그만하고, 2차 ODE를 푸는 것으로 넘어가 보겠습니다! 문제풀이 시간만 지나고 다시 만나요!!