셋 : Diffusion with moving interface

# 복습으로 시작

이번 포스팅에서 다룰 문제는 Diffusion through a stagnant gas film의 응용버전이기 때문에 다시 한번 간단하게 복습하고 넘어갈게요.

칠판에서 볼 수 있듯이, 공기인 B는 충분히 공급되고 있고, 액체 A가 기화하여 관을 타고 이동하는 상황이었습니다. 모든 기체는 이상기체이고, B는 A에 녹지 않는다는 가정이 있었죠? 그리고 상대적으로 B는 정지해 있고, 액체와 기체의 interface가 고정되었다고 생각을 하여 A에 대해서만 mass balance와 combined molar flux 식을 써서 문제를 풀었습니다. 기억나시죠? 그렇게 해서 우리는 액체와 기체 interface에서의 증발 flux를 얻었습니다. 바로 eqn ①이죠. 혹시 기억이 안난다면 반드시 이전 포스팅을 다시 한 번 공부하시길 바랍니다.

# interface가 움직인다면?

오늘은 액체와 기체의 interface가 움직이는 경우에 대해서 고려해볼 거에요. 조건 하나가 다를 뿐인데, 문제의 난이도가 달라진 느낌이죠? (시험 공부를 할 때에도 이런 식으로 특정 조건을 바꿨을 때 문제를 어떻게 풀 수 있을까를 생각해보면 훨씬 도움이 될 거라 생각해요.)

칠판을 봅시다. 궁극적으로 구하려는 것은 액체의 높이 $z_1(t)$ 입니다. 이전 문제와 달라진 점은 $z=z_1$ 이 시간에 따라 변한다는 거에요. 그런데 이것을 Unsteady state 문제로 풀게되면(시간에 따라 변하는 것을 완벽하게 고려하면) 상당히 복잡하고, 어려워져요. 그래서 주어진 가정을 이용해보려고 합니다. 액체 A의 증발속도가 매우 느리다. 이 조건이 문제를 쉽게 풀 수 있는 실마리를 주는데요. 증발속도가 느리기 때문에 우리는 일단 짧은 시간 동안에는 interface가 움직이지 않는다고 볼 수 있겠죠? 이를 유사정상상태(quasi-steady state)라고 해요. 많은 문제에서 이런 가정과 테크닉을 사용하여 간단히 풀기 때문에 익혀두면 아주 좋다고 생각합니다. 하지만 우리가 구해야 하는 해는 긴 시간에서도 어느 정도 성립해야 하기 때문에 시간에 다른 액체 높이 변화를 고려해줘야 겠죠? 이 부분은 어떻게 하는지 직접 보기로 해요.

주어진 식 이용 및 아이디어 하나!

사실 이전 문제에서 사용할 수 있는 식들을 나열하는 과정은 이미 다 했기 때문에 이번에는 복습했던 결과를 바로 사용해서 문제를 풀도록 할게요. 유사정상상태에서는 설명했듯이, 이전 문제와 완전히 같은 방식으로 풀 수 있겠죠? 그래서 eqn ①을 얻을 수 있습니다.
이제 이 식을 문제의 조건에 맞게 약간 변형시킬 거에요. 문제에서 시간에 따라 변하는 것은 $z_1=z_1(t)$ 뿐입니다. 따라서 $z_1$ 대신에 $z_1(t)$ 를 eqn ①에 대입하면 eqn ②를 얻을 수 있습니다. 지금까지는 아주 간단한 논리죠? 그런데 아직은 식이 부족해요. 우리가 구하고 싶은 것은 $z_1(t)$ 인데 $N_{Az}$ 도 주어진 값이 아니거든요.
그래서 그 다음이 이 문제를 푸는 핵심 포인트입니다. 이 생각을 하지 못한다면 문제를 풀기가 조금 힘들어질 거에요.
$$N_{Az}는 단위면적, 단위시간 당 줄어든 A의 몰수이다.$$
이를 수식으로 나타내면 칠판의 마지막 식이 되는 것 이해할 수 있겠죠?

이를 밀도( $\rho^A$ ), 분자량( $M_A$ ), 그리고 액체 계면의 높이 변화율( $-dz_1/dt$ )를 이용하여 나타내면 eqn ③이 됩니다. 우리가 궁금한 것은 $z_1(t)$ 이므로 증발 flux 따위 과감하게 대입하여 없애버리세요.

미분방정식 풀이

결과적으로 얻는 것은 1차 미분방정식이죠? 이보다 더 간단할 수 없는 변수분리가 잘 되는 방정식이에요. 칠판의 식들을 쭉 따라 가면서 보면 $z_1(t)$ 을 약간의 치환으로 보기 좋게 만든다음에 적분하는 것 밖에 없어요. 여기서 밀도나, 분자량, 그리고 stagnant gas film인 B의 몰분율은 시간에 따라 변하지 않겠죠? 이런 물리적인 조건에 대해 한 번씩 더 생각해 본 후에 적분을 샤라라라 하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

저는 귀찮아서 $h(t) = z_1(0)-z_1(t)$ 를 구했지만, 문제를 확인해서 문제에서 구하라는 $z_1(t)$ 의 형태로 바꿔주어야 겠죠? 그건 여러분에게 맡기겠습니다^^ 마지막으로 우리가 가정했던 것처럼, 액체의 증발속도가 느려야만 이렇게 간단하게 푼 결과가 실제 상황과 맞아떨어집니다. 아세톤과 같이 엄청 빠르게 증발하는 액체에 대해 이 식으로 높이 변화를 예측한다면 오차가 엄청 많이 날 거에요.

# 마무리

오늘은 실전 두 번째 문제를 풀어보았는데요. 물질전달 문제는 조건 하나의 차이로 쉽게 응용문제로 둔갑할 수 있다는 사실 제대로 느끼셨나요? 항상 조건의 중요성을 잊지 않으셨으면 해요. 그럼 다음 포스팅에서는 조금 다른 유형의 문제를 같이 풀어보도록 하겠습니다. 복습 철저히 하시길 바랍니다!

# 참고문헌

• R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, “Transport Phenomena“, John Wiley & Sons, Inc., 2007, p.549~550