#7. Fourier Series(5-1. Fourier-Legendre series)

• 식이 길어서 잘릴수도 있습니다! 창을 최대 크기로 키워주세요~

그림 출처

오랜만입니다. 오랜만인 이유는, 너무 포스팅이 길어질 것 같아서 간보다가 한 달이 지나버렸네요ㅠㅠㅠㅠㅠ 드디어 Sturm-Liouville 을 지나, 보다 더 확장된 Fourier series 들, 그러니까 삼각함수가 아닌 다른 orthogonal 한 함수들을 넣어서 fourier series를 만들어 볼 겁니다. 일단 기초부터 시작해볼까요?

Fourier series의 general form

삼각함수를 넣어서 정의했던 fourier series는 아래와 같은 모양이었습니다.

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty ( a_n \cos nx + b_n \sin nx )$$

이제 $\sin , \cos$은 지겨우니까, 다른 아이를 한 번 넣어보려고 합니다. 일단 $y_m$이라고 하고 넣어볼까요? $y_m$은 요렇게 orthogonal 한 함수라고 가정합니다.

$$\int_a^b r(x) y_m y_n dx =0$$

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n y_n (x)$$

이제 모르는 계수 $a_m$을 정하기 위해서, 우리가 예전에 했던 일들을 그대로 해볼겁니다. 우리가 제일 처음에 orthogonality를 활용해서 계수를 구할 때 양변에 함수를 그대로 곱했던 거 기억하죠? $a_n$을 구하기 위해 $\cos mx$, $b_n$을 구하기 위해 $\sin mx$를 곱했던 것 말이에요. 그러니까 orthogonality를 최대한 활용해보기 위해서 $f(x)$ 의 양변에 $r(x)$와 $y_m(x)$를 곱해봅니다.

$$r(x) f(x) y_m(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n r(x) y_n(x) y_m(x)$$

그리고 적분을 씌우는거죠!
$$\int_a^b r(x) f(x) y_m(x) dx =\int_a^b \sum_{n=0}^\infty a_n r(x) y_n(x) y_m(x)dx$$

우변을 잘 살펴보면, $n=m$인 경우를 제외하면 다 0으로 날아갈겁니다. 그러니…
$$\int_a^b r(x) f(x) y_m(x) dx = a_m \int_a^b r(x) y_m (x) y_m(x) dx$$

즉, 우리는 $a_m$의 형태를 아래와 같이 표현할 수 있겠다는 겁니다.

$$a_m = \frac{\int_a^b r(x) f(x) y_m (x) dx}{\int_a^b r(x) y_m^2(x) dx}$$

썩 마음에 드는 깔끔한 식은 아니지만, 어쨌든 공식화가 되었으니 한결 다루기가 편해질 것 같습니다. 그렇다면, 이제 $y_m$에 우리가 원하는(?) 함수인, Legendre와 Bessel을 넣어보겠습니다.

Fourier-Legendre series를 하기 전에..

Legendre series가 뭐였는지는 기억 하나요? 여기서 식을 정리하고, 여기서해를 구해봤었습니다. 잠시 remind를 하자면,

$$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} -2x\frac{dy}{x} + n(n+1) y =0$$
꼴의 2차 ODE를 풀 때,
$$y= \sum_{m==0}^\infty a_m x^m$$
으로 두고 푸는 방법이었습니다. 대충 정리를 해봤더니,

$$\begin{align} y &= a_0 \left(1- \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}x^4 - ... \right)\\&+a_1 \left( x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3 + \frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!} - ...\right) \end{align}$$

로 정리가 되더라는 겁니다. 그래서, 우리는 다항식으로 정리되는 부분을 $P_n$이라 했고, 그렇지 못한 부분을 $Q_n$이라고 두었죠. 특히 다항식으로 떨어지는 부분인 $P_n$을 정리해봤더니, 계수가…

$$a_{n-2m} = (-1)^m \frac{(2n-2m)!}{2^n m! (n-m)! (n-2m)!}$$
이라고 나왔고, 그래서 $n$차항 부터 내림차순으로 $2m$씩 빠지면서 쭉~ 전개가 되는 모습을 볼 수 있었죠. 그래서, $P_n$은 결국 ‘다항식 형태’로 정리가 되는 ‘orthogonal’한 함수들이라는 사실을 결론적으로 말할 수 있었습니다. 그렇다면, Fourier-Legendre series를 전개하기 시작해볼까요?

Fourier-Legendre series

Legendre를 위의 $y_m$ 자리에 대입해 볼겁니다. 그렇다면, 일단 식의 모양은….

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nP_n = a_0 P_0 + a_1 P_1 + .....$$

이렇게 만들어질겁니다. 그리고 계수를 구하면, $r(x) =1$이니까

$$a_m = \frac{\int_{-1}^1 f(x) P_m (x) dx}{\int_{-1}^1 P_m^2(x) dx}$$

이렇게 들어갈테죠. 자 그런데, $P_m$은 왠지 규칙이 있을 것 같습니다. 그리 쉽게 얻어지는 규칙은 아니고, 좀 생소한 식을 가져와야 하는데요 ㅠㅠㅠ

$$P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n$$
이라는 식입니다. ‘Rodrigues formula for Legendre polymonial’이라고 검색하면 증명을쉽게 얻을 수 있을 겁니다. 여기서는 일단 저렇다고 ‘납득’을 한 채로 증명을 시작합시다!

$P_n(x)$대입하기

일단 그대로 대입을 한 번 해봅시다.
$$\int_{-1}^1 P_n^2 (x) dx = \frac{1}{2^{2n}(n!)^2}\int_{-1}^1 \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n dx$$

그대로 적분을 하는 것은 좀 어려워 보이니까, 우변에 있는 적분항을 부분적분해줍시다.

$$\begin{align}& \int_{-1}^1 \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n dx \\ =&\left[ \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2 -1)^n \frac{d^m}{dx^m} (x^2 -1)^m \right] ^1_{-1}- \int^1_{-1} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(x^2 -1)^n \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n dx \end{align}$$
너무나도 자명하게, 왼쪽항은 통째로 0입니다. 그러니 결국,
$$\begin{align}& \int_{-1}^1 \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n dx \\ = &- \int^1_{-1} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(x^2 -1)^n \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n dx \end{align}$$

이런 관계식이 성립할거고, 이 식을 $n$번 전개시켜나가면 이런 모양이 나올거라고 추측할 수 있습니다.

$$(-1)^n \int^1_{-1} (x^2 -1)^n \frac{d^{2n}}{dx^{2n}}(x^2 -1)^n dx$$
그런데 또, $2n$번 미분하는 항은 결국 최고차항 빼고는 다 0으로 사라져버릴테니,
$$\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}(x^2 -1)^n = (2n)!$$
이런 관계식이 성립합니다.

결국 정리해보면,
$$\int_{-1}^1 P_n^2 (x) dx = \frac{(-1)^n (2n)!}{(n!)^2 2^{2n}}\int_{-1}^1 (x^2 -1)^n dx$$

적분항 계산하기

그럼 이제 우리에게 남은 과제는,
$$\int_{-1}^1 (x^2 -1)^n dx$$
를 계산하는 것입니다. $x=\sin a$로 치환한 다음 계산을 해보면, 매우 높은 차수의 $\cos$대한 적분을 하게 됩니다. 귀찮으니, 우리는 프로그램에서 결과를 가져옵시다.

$$\int_{-1}^1 (x^2 -1)^n dx = \frac{(-1)^n \Gamma(n+1) \sqrt \pi}{\Gamma(n+ 3/2)}$$

오오.반가운 Gamma function 입니다! $\Gamma(n+1)=n!$인 것은 기억하고 있죠? 기억을 더듬어 공식들을 가져와 봅시다.

$$\frac{1}{\Gamma(n+3/2)n! 2^{2n}} = \frac{2}{\sqrt\pi (2n+1)!}$$

라는 사실을 우리는 이미 증명해둔 바가 있습니다. 그러니

$$\frac{1}{\Gamma(n+3/2)}= \frac{n! 2^{2n+1}}{\sqrt\pi (2n+1)!}$$
를 그대로 넣고 계산을 한 번 해봅시다!

$$\int_{-1}^1 (x^2 -1)^n dx = \frac{(-1)^n \Gamma(n+1) \sqrt \pi}{\Gamma(n+ 3/2)} = (-1)^n \frac{(n!)^2 2^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

최종 결과

아직 끝나지 않았어요! 이제 적분항을 다시 대입해야할 때입니다.
$$\begin{align}\int_{-1}^1 P_n^2 (x) dx &= \frac{(-1)^n (2n)!}{(n!)^2 2^{2n}}(-1)^n \frac{(n!)^2 2^{2n+1}}{(2n+1)!}\\&= \frac{2}{2n+1}\end{align}$$

결국

$$a_m = \frac{\int_{-1}^1 f(x) P_m (x) dx}{\int_{-1}^1 P_m^2(x) dx} = \frac{2m+1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_m (x) dx$$

라는 최종 결과식이 얻어집니다.

예를 들어

$f(x)= \sin \pi x$를 근사하는 예제를 한 번 봅시다. 일단 $P_0 ~ P_5$까지는 다 옮겨 적어와 봅시다.

$$\begin{align} P_0 &= 1 \\ P_1 &= x \\ P_2 &= \frac{3x^2 -1}{2} \\ P_3 &= \frac{5x^3-3x}{2} \\ P_4 &= \frac{35x^4-30x^2 +3}{8} \\ P_5 &= \frac{63x^5-70x^3+15x}{8} \end{align}$$

이제 항을 하나씩…하나씩..넣기 전에, 잠시 짝수항에 대한걸 관찰하고 갑시다.

$$a_m = \frac{\int_{-1}^1 f(x) P_m (x) dx}{\int_{-1}^1 P_m^2(x) dx} = \frac{2m+1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_m (x) dx$$
이었는데, $\sin$이라는 함수는 기함수(odd function)입니다. 즉, 자기 혼자 있는 상태에서 저런 적분을 하면 그대로 0이 되어버리는 거죠! 기함수를 우함수(even function)과 곱할 경우에는 그대로 기함수니까, 역시나 저 적분은 0이 될 겁니다. 그러니, $P_0. P_2,P_4$가 있는 $a_0, a_2, a_4$들은 전부 0으로 날아가겠네요. 그러니 $a_1, a_3, a_5....$만 한 번 구해봅시다.

$$\begin{align} a_1 &= \frac{3}{2} \int_{-1}^1 x \sin\pi x dx= \frac{3}{\pi} = 0.9549 \\ a_3 &= \frac{7}{4} \int_{-1}^1 (5x^3 -3x) \sin \pi x dx = \frac{5(\pi^2 -15)}{\pi^3} = -1.1582\\ a_5 &= \frac{}{}\int_{-1}^1(63x^5 - 70x^3 + 15x) \sin\pi xdx = \frac{11(945-105\pi^2 + \pi^4)}{\pi^5} = 0.2193 \end{align}$$

이정도로 쭉 구해질 거고, $a_7$부터는 갑자기 작아지기 시작해서 절댓값이 $10^-2$보다 아래로 떨어져버립니다. 그러니, 근사값에 가장 큰 영향을 미치는 녀석은 앞의 세 항일건데, 좀 더 지대한 영향을 미치는 아이는 $a_3$일겁니다.

어라?

보통 가장 지대한 영향을 미치는 아이는 $a_1$ 또는 $a_0$일 거라고 쉽게 예상해버리기가 쉽습니다. 하지만, 이번 경우에는 $\sin x$와 가장 유사한 모양을 가진 함수가 $P_0 =1$이나 $P_1 = x$가 아닌, 2차항을 가지는 $P_2$였습니다. 하지만 이건 계산과정 상 0으로 가는 항이니까, 좀 더, 제일 유사한 모양(3차 함수)을 가지는 $P_3$이 미치는 영향이 제일 커지는 거죠. $\sin x$라는 곡선을 근사하기 위해서 1차 함수나 상수함수를 들고 오는 데에는 한계가 있을테니까요. ‘근사’를 하는데에 있어서 가지고 있어야 할 직관이라고 할 수 있겠습니다!

마무리

Fourier-Bessel까지 끝내보려고 했는데, 글이 너무 길어질 것 같아서 ㅠㅠ 독자분들의 편의를 위해 조금 나눠보았습니다. Fourier-Bessel series에 대한 이야기는 다음 포스팅에서 조만간 이어 하도록 하죠! 오늘보다 조금 더 복잡하기 때문에 할 얘기가 별로 없습니다(?). 그럼 다음 포스팅에서 봐요!