#7. Fourier Series(5-2. Fourier-Bessel series)

• 식이 길어서 잘릴수도 있습니다! 창을 최대 크기로 키워주세요~

그림 출처

인사가 또 오랜만이라는 말로 시작하네요 ㅠ 이전처럼 자주자주 찾아뵙지 못하는데에 죄송함을 표하며….
오늘은 Fourier series의 general form 에 대한 마지막 주제인, Fourier-Bessel series를 말해보고자 합니다. 사실 거의 모든 것을 앞에서 해놓았기 때문에, 링크를 걸어둔 채로 많이 점프를 할거거든요(?!)!
그러니, 창을 여러개 띄워둘 준비를 하시면 되겠습니다 ㅎㅎ 그럼 시작해볼까요?

Fourier series의 general form

remind를 하자면, Fourier series의 general 한 form 은 아래와 같습니다.

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n y_n (x)$$

$$a_m = \frac{\int_a^b r(x) f(x) y_m (x) dx}{\int_a^b r(x) y_m^2(x) dx}$$

바로 직전 포스팅에 유도는 해뒀으니, 이제 $y$자리에 그 유명한 $J$를 넣어볼겁니다. 화이팅!

시작 하기 전에..

Bessel 이 뭔지 까먹었죠?너무 당연하다는 듯이....

$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 )y=0$$
을 만족하는 함수 $y$를, 우리는 Bessel function이라고 불렀었습니다. Series solution으로 구했었구요, 이런 점화식을 가졌더랬죠.

$$a_{2k} =\frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2} \\ a_0 = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \frac{1}{2^\nu}$$

이 때 $\nu$의 값에 따라 네 가지 정도로 경우가 나뉘었던 것을 기억하고 있을 겁니다. 저 ODE를 풀었을 때 나오는 두 가지 해 $y_1, y_2$ 중, $y_1$은 계속해서 일정하게 아래와 같이 나왔더랬습니다.

$$J_\nu = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+\nu}$$

문제는 $y_2$였는데요, $\nu$의 값이 0일 때는
$$y_2 = Y_0$$

$\nu$의 값이 0아닌 정수일 때는
$$y_2 = Y_n$$

$\nu= \frac{1}{2}$일 때는
$$J_{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x \\ J_{- \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x$$

그 외의 경우에는
$$y_2=J_{-\nu}$$

라고 처리를 해주면 됩니다. 유도가 굳이…궁금하다면 각각의 링크를 타고 가면 되구요, 오늘 활용할 식은 Bessel 의 미적분 관계 식과, orthogonality 증명을 할 때 0으로 날아간다고 당연시하던 식을 가져올겁니다. 일단, Bessel 의 미적분 관계식은 이것만 기억하구요!

$$\frac{d[x^{-\nu} J_\nu (x)]}{dx} = -x^{-\nu} J_{\nu+1}(x)$$

이제 진짜로 식을 잘 조작해보겠습니다!

Fourier-Bessel series

$\alpha_{n,m}$이 의미하는 것이 $J_n(x)$를 0이 되도록 만드는 $x$중 $m$번째에 있는 값을 의미한다고 약속했었죠? 그리고, $k_{n,m}$은 $\alpha_{n,m}/R$로 정의를 해줘서, $R$의 값을 조정해 주면서 다양한 적분 범위를 설정해 주기 위한 것이었습니다. Fourier-Bessel series를 이것으로 표현해보면,

$$f(x) = \sum_{m=0}^\infty a_m J_n (k_{n,m}x)$$
와 같이 됩니다. 이 때 $n$은 고정이고 $m$을 변화시켜주는 거죠! 어차피 $n=0$만 아니면, $m=0$인 경우에는 $a_m=0$이니까 아래 범위를 1부터로 잡아도 될겁니다.

$$f(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m J_n (k_{n,m}x)$$
그리고 앞에 붙어있는 계수는 이렇게 표현이 되겠죠.
$$a_m = \frac{\int_0^R f(x) J_n (k_{n,m}x) dx}{\int_0^R x J_n^2 (k_{n,m} x) dx}$$

우리가 할 일은, 분모에 있는 저 녀석의 값을 깔끔하게 정리하는 겁니다. 결론부터 말하자면,
$$\int_0^R x J_n^2 (k_{n,m}x) dx = \frac{R^2}{2} J_{n+1}^2 (k_{n,m}R)$$
이 되는 것을 증명할 겁니다. 어떻게 쉽게 하는 방법이 없을지 부분적분도 해보고….많은 일을 해봤지만, 아마도 아래에 서술할 방법이 가장 납득(?)할 만한 것 같네요 ㅠ

Bessel function의 제곱을 어떻게 적분할까?

적어도 우리가 알고 있는 지식의 범위 내에서는, 못합니다! 못해요! 그래서, 꼼수를 씁니다.

1. $\int x J_n(k_{n,m}x) J_n(k_{n,k}x) dx$ 에 대한 식을 먼저 좀 깔끔하게 찾고,
2. 1의 식에다가 $k_{n,m}$을 $k_{n,k}$로 보내는 극한을 보내버리면
3. 뭔가 나오지 않을까

싶은 생각에 이것 저것 식을 정리해보기 시작합니다. 옛날 옛적, 우리가 Bessel 의 orthogonality를 직접 손으로 증명하던 시절의 포스팅을 잠깐 보고 오시면, 아래와 같은 식이 등장할겁니다. 서로 다른 $\alpha_{n,m}, \alpha_{n,k}$에 대해서 미분식을 만든 다음에 양변을 $0$부터 $1$까지 적분했던 기억이 어렴풋이 나죠?

이렇게 양변을 적분했었는데, 그 때와 지금의 차이점은 $\alpha$가 아닌 $k$인 것, 그리고 적분 범위가 $0$부터 $R$까지인 것 뿐입니다. 그것을 감안해서 윗 식을 다시 적어보면,

$$\begin{align} &\left[ x \frac{dJ_n (k_{n,m}x)}{dx} J_n(k_{n,k}x) \right]_0^R -\overbrace{\int_0^R x \frac{dJ_n(k_{n,m}x)}{dx}\frac{dJ_n(k_{n.k}x)}{dx}dx}^{same} \\ & k_{n,m}^2 \int_0^R x J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx - \underbrace{n^2 \int_0^R \frac{1}{x} J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx=0}_{same} \end{align}$$

이렇게 될겁니다. 그렇다면 아랫식은,

$$\begin{align} &\left[ x \frac{dJ_n (k_{n,k}x)}{dx} J_n(k_{n,m}x) \right]_0^R -\overbrace{\int_0^R x \frac{dJ_n(k_{n,m}x)}{dx}\frac{dJ_n(k_{n.k}x)}{dx}dx}^{same} \\ & k_{n,k}^2 \int_0^R x J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx - \underbrace{n^2 \int_0^R \frac{1}{x} J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx=0}_{same} \end{align}$$

이렇게 됩니다. 저번 포스팅에서는 적분기호가 없는 맨 앞항을 아주 당연스레 지워줬었습니다만, 이번에는 남겨두고, same이라고 표시해놓은 저 식들만 없애버릴 겁니다. 윗 식에서 아랫 식을 뺀 다음 적당히 정리해주면, same은 제외되고 이런 식만 남겠죠!

$$\begin{align} \left[ x \frac{dJ_n (k_{n,m}x)}{dx} J_n(k_{n,k}x) \right]_0^R &- \left[ x \frac{dJ_n (k_{n,k}x)}{dx} J_n(k_{n,m}x) \right]_0^R \\&= (k_{n,k}^2 - k_{n,m}^2)\int_0^R x J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx \end{align}$$

이제 좌변을 좀 보기좋게 정리해봅시다. 어차피 0을 넣으면 $x$때문에 0이 될테니, $R$을 넣은 모양만 잘 보면 될텐데요,

$$\begin{align}\left[ x \frac{dJ_n (k_{n,m}x)}{dx} J_n(k_{n,k}x) \right]_0^R &= \left[ xk_{n,m} J_n'(k_{n,m}x)J_n(k_{n,k}x) \right]_0^R \\ &=Rk_{n,m} J_n' (k_{n,m} R) J_n(k_{n,k}R) \end{align}$$
$$\begin{align}\left[ x \frac{dJ_n (k_{n,k}x)}{dx} J_n(k_{n,m}x) \right]_0^R &= \left[ xk_{n,k} J_n'(k_{n,k}x)J_n(k_{n,m}x) \right]_0^R \\ &=Rk_{n,k} J_n' (k_{n,k} R) J_n(k_{n,m}R) \end{align}$$

두 식은 이렇게 정리가 될겁니다. 그러니, 우리가 원했던 $\int xJ_n (k_n,m x) J_n (k_n,k x)dx$ 의 모양은 이렇게 나오겠죠?

$$\int_0^R x J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx = \frac{R \left(k_{n,m} J'_n(k_{n,m}R) J_n(k_{n,k}R) - k_{n,k}J_n'(k_{n,k}R)J_n(k_{n,m}R) \right)}{k_{n,k}^2 - k_{n,m}^2}$$

로피탈의 정리

그러면, 서로 다른 $k$를 가질 때의 얘기를 해봤으니 이제 꼼수로, $k_{n,m} \to k_{n,k}$로 가는 극한을 보내버릴겁니다.

$$\lim_{k_{n,m} \to k_{n,k}} \int_0^R x J_n (k_{n.m}x) J_n (k_{n,k}x) dx = \int_0^R x J_n^2 (k_{n,k}x) dx$$
이제 좌변은 우리가 원하던 형태로 만들었습니다. 그런데 우변은…

$$\lim_{k_{n,m} \to k_{n,k}} \frac{R \left(k_{n,m} J'_n(k_{n,m}R) J_n(k_{n,k}R) - k_{n,k}J_n'(k_{n,k}R)J_n(k_{n,m}R) \right)}{k_{n,k}^2 - k_{n,m}^2}$$

이면, 분자와 분모가 모두 0으로 가는 $\frac{0}{0}$꼴의 극한입니다. 그러니 간편하게 로피탈의 정리를 먹여봅시다. $k_{n,m}$으로 미분을 때리면,
$$\begin{align} &\lim_{k_{n,m} \to k_{n,k}} \frac{R \left(k_{n,m} J'_n(k_{n,m}R) J_n(k_{n,k}R) - k_{n,k}J_n'(k_{n,k}R)J_n(k_{n,m}R) \right)}{ k_{n,k}^2 - k_{n,m}^2} \\ =& \lim_{k_{n,m} \to k_{n,k}} \frac{R \left(k_{n,m}R J_n'' (k_{n,m}R) J_n(k_{n,k}R) - k_{n,k}R J_n' (k_{n,k}R) J_n' (k_{n,m}R) \right)}{-2k_{n,m}} \\ =& \frac{R^2 k_{n,k} (J_n''(k_{n,k}R) J_n (k_{n,k}R)-J_n'(k_{n,k}R) J_n'(k_{n,k}R))}{-2k_{n,k}} \\ =& \frac{R^2 }{2}(J_n'^2(k_{n,k}R) - J_n ''(k_{n,k}R)J_n (k_{n,k}R) )\end{align}$$

이렇게 정리가 되겠죠! 어차피, $J_n (k_{n,k}R)=0$이니까, 결국 맨 마지막 줄에서 두 번 미분한 항에 대한 걱정은 없을겁니다. 즉, 결론은

$$\int_0^R x J_n ^2 (k_{n,k}x) dx = \frac{R^2}{2} J_n' ^2 (k_{n,k}R)$$

이렇게 날겁니다.

미분항도 없애고 싶다!

근데 정리를 해놓고 보니, 굳이~굳~~~이 미분항을 앞에 놔둘 필요가 있겠느냐, 는 생각이 듭니다. 우리는 미분의 관계식까지 다 유도를 해놨거든요! 위에서 기억하라고 했던 이 식을,
$$\frac{d[x^{-\nu} J_\nu (x)]}{dx} = -x^{-\nu} J_{\nu+1}(x)$$

양변을 그대로 미분해봅시다.
$$-\nu x^{-\nu-1} J_\nu (x) + x^\nu J'_\nu (x) = -x^{-\nu} J_{\nu+1}(x)$$
양변을 $x^\nu$로 나누고…
$$- \frac{\nu}{x} J_\nu (x) + J'_\nu (x) = - J_{\nu+1}(x)$$
$x$대신 $k_{n,k} x$를, $\nu$대신 $n$을 대입하면
$$-\frac{n}{k_{n,k}x}J_n (k_{n,k}x) +J_n '(k_{n,k}x) = - J_{n+1} (k_{n,k}x)$$
이 됩니다. 이제 $x=R$을 대입해버리니, 맨 왼쪽항은 0이 되어 날아갈테구요,
$$J_n' (k_{n,k}R) = - J_{n+1} (k_{n,k}R)$$
이라는 결론을 얻습니다. 그러니까 결과적으로

$$\int_0^R x J_n ^2 (k_{n,k}x) dx = \frac{R^2}{2} J_{n+1} ^2 (k_{n,k}R)$$
가 되었습니다. coefficient 들은 $m$을 기준으로 하고 있으니까,
$$\int_0^R x J_n ^2 (k_{n,m}x) dx = \frac{R^2}{2} J_{n+1} ^2 (k_{n,m}R)$$
으로 살짝 바꿔줄게요!

Fourier-Bessel series에 다시 넣어보기

그러면….
$$a_m = \frac{\int_0^R f(x) J_n (k_{n,m}x) dx}{\int_0^R x J_n^2 (k_{n,m} x) dx}$$
에다가
$$\int_0^R x J_n ^2 (k_{n,m}x) dx = \frac{R^2}{2} J_{n+1} ^2 (k_{n,m}R)$$
를 넣어서,
$$a_m = \frac{2}{R^2 J_{n+1}^2 (k_{n,m}R)} \int _0^R x f(x) J_n (k_{n,m}x) dx$$
라는 식을 얻었습니다.

결론

$$f(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m J_n (k_{n,m}x) \\ a_m = \frac{2}{R^2 J_{n+1}^2 (k_{n,m}R)} \int _0^R x f(x) J_n (k_{n,m}x) dx$$
라는 fourier-bessel series의 표현식을 얻었습니다! 너무 $n,m$이 많이 붙어있어서 헷갈리죠? 저 식에서 우리가 ‘구해야 하는’ 것은,

• 주어진 $f(x)$에 대해 $a_m$의 표현

이구요, 우리가 ‘임의로 결정해줘도 되는 부분’은,

• $n$의 값 : 즉, 어떤 Bessel function을 쓸지
• $R$의 값 : 즉, 몇 번째 $0$이 되는 값을 가져올지

입니다. 책에서는, $f(x)=1-x^2$이라는 함수에 대해서, $R=1, n=0$을 가지고 Fourier-Bessel series를 전개하는 연습문제가 있네요! 이건 그냥 하다보면 되니까, 패스할게요 ^0^

정리

Bessel function으로 series근사를 하게 되는 참사가 벌어지지 않았으면 좋겠습니다만, 꽤 많이 일어나는 일입니다…..ㅠㅠ 이렇게 자세히 배우는 이유도, 식을 풀다보니 많이 나오는 형태라서 이론으로 정립을 시켜둔거니까요!

여기까지가 Fourier-series에 대한 내용이었고, 바로 다음 포스팅에서는 Fourier integral 에 대한 이야기를 해볼겁니다. 주기가 없는 함수를 손써주기 위해 적분을 도입하는 과정, 그리고 지금까지 Fourier series를 계산하면서 애써 외면하고 있었던 ‘무한합이 수렴은 하나?’와 ‘모든 점에서 연속인가?’에 대한 이야기를 조금 다뤄볼텐데요, 아마 지금까지보다는 조금 가벼울 겁니다. 그럼 다음 포스팅에서 봅시다!