#7. Fourier Series(0. intro)

그림 출처

안녕하세요? ㅋㅋㅋ 실수로 반말을 할뻔…ㅋㅋㅋㅋ 저쪽 포스팅을 쓰다가 여기로 오니까 존댓말이 살짝 낯설군요 하하

사실 PDE를 안하니까 주위에서 하도 왜 안하냐고 뭐라고.....가 아니라! ㅋㅋㅋ ODE를 끝냈다면 PDE는 맛보기라도 조금 해야하지 않을까..라고 생각하고 있었습니다. ODE는 그나마 배경지식이 적어도 (타과생을 위한)수학과 전공까지는 들을만했는데, PDE로 가니까 선수과목이 굉장히 후덜덜 하더군요…하하

욕심이 나는 것은 사실이지만 저도 졸업은 해야하기에…..ㅎㅎ아주 조금만 욕심을 더 부려보기로 했습니다. 사실 저도 PDE를 푸는 것은 ‘방법론’적인 것에만 집중을 했기 때문에, 어차피 포스팅을 해봤자 Kreyzig 아저씨가 쓴 책의 번역밖에 되지 않을 것 같다는 판단하에, 일단은 Fourier Series 와 Fourier transform에 대해서 아주 조금은 심도있는 접근과 계산(ㅠㅠ)을 해보는 추가적인 포스팅을 해보려 합니다. 팬서비스?!?! PDE의 풀이는, 글쎄요. Fourier series가 여기에 쓰입니다! 정도의 예시를 보여줄 수 있는 몇 가지 정도만 풀어볼까요?ㅋㅋㅋㅋ

• 여튼, 돌아와서 저도 반갑습니다. 여러분이 남겨주신 많은 댓글 덕분에 이 카테고리가 점점 더 발전할 수 있는 것 같아요! 함께 더 멘붕인 Fourier 를 정복하러 가봅시다.

About PDE

제가 무려 10개월동안 주구장창 연재를 했던 건, ODE를 풀기 위한 수단 세 가지였습니다. 뭐가 있었죠?
…
대답이 바로 나오는군요. 역시 참새의 공학수학은 위대합니다(?)

1. Analytic solution이 존재하는 경우
2. Series solution을 구할 수 있는 경우
3. 끝판왕 Laplace transform을 쓸 수 있는 경우

이정도? 네 맞습니다. 하지만 이 포스팅을 지금쯤 보고있는 여러분들은 2학년 2학기 또는 3학년 2학기를 거치고 있을 거니까, ODE는 정말 새발의 피의 분자 하나만큼도 아니었다는 것을 뼈저리게 느끼고 있을테지요 ㅠㅠ 당장 이 블로그에서 여기라던가, 이런데라던가…를 가봐도 알 수 있겠지만 대부분의 공대생이 접하는 미분방정식은
편!!!!!미분방정식입니다.

왜 편미분방정식이 나오는가?

한 번이라도 생각해보신 적이 있나요? 좀 철학적인 질문이죠? 왜 우리 공대생, We Engineer 들은 똑같은 함수를 두 개 이상의 변수로 미분하는 걸까요? 좀 쉽게 가는 길은 없을까요?

네 없습니다... 공대의 목적은, ‘이 세상과 가장 근접한 모델’을 만들어내고 시뮬레이션을 하는 데에 있기 때문입니다. 사실 이론적인 부분만으로는 상당히 많은 부분이 연구가 되어있죠. 하지만 그것들은 어디까지나 이상적인 경우일 뿐입니다. 이상적인 모델을 세우는 것은 물론, 현실에 적용하기 위한 엄청나게 중요한 과정이긴 합니다. 하지만 이것을 현실에 적용할 때는 고려해주어야 할 것이 많습니다.
우리가 그동안 무시하고 지나갔던 공기저항이나, 마찰력 등을 모두 식에 집어넣어야 하는거죠. 그래서 함수 자체가 여러 변수에 의해 정의되고, 그렇기 때문에 ‘편미분’을 할 수 밖에 없는겁니다.

게다가, 일단 보고자 하는 현상 자체가 ‘이동’을 보는 겁니다. 열의 이동, 유체의 이동, 물질의 이동 등등… 이동현상에 대해 관찰하는 것은 상당히 골치아픈 일이고, 고려해줘야 할 것들이 많습니다. 일단 시간에 따라 이동을 할테니 $t$에 대한 함수일거구요, 어디로 이동하는지를 알아야 합니다. 2차원이면 기준이 2개, 3차원이면 기준이 3개가 되겠군요. 변수가 정말 많아졌습니다.

예를 들어…

꼭 현실에 적용하기 위해 미분항이 추가된다는 생각을 하지 않아도 좋습니다. 당장 이런 경우를 생각해보죠.

• 두께를 무시할 수 있는 막대기가 있다고 합시다. $x=0$부분에 열을 주기 시작했을 때, 한 시간 후에 막대기 끝 부분의 온도를 알고 싶습니다.

이 간단한 문제 안에 벌써 미분해야하는 항이 두 개가 있습니다. 하나는 시간 $t$, 하나는 위치 $x$입니다. 시간에 대한 변화와 위치에 대한 변화를 동시에 생각해줘야 하는거죠. 실제로 이 상황을 나타내는 식은 편미분방정식입니다.

이 문제는 1차원만 생각해주어도 되지만, 당장 2차원, 3차원으로 가면 $x, y, z$의 세 coordinator 를 모두 따져 주어야 하기 때문에 변수가 4개인 편미방이 되어 버립니다. 하하….

Fourier Transform

이후에도 다시 한 번 말하겠지만, Fourier 는 정말 과학과 공학의 발전에 무궁무진한 기여를 했습니다. 물론 수학적 엄밀성을 가지고는 조금 까이….고 있기는 하지만…ㅋㅋㅋ 뭐가 그렇게 좋은 거냐구요? ㅋㅋㅋ

1. PDE를 풀기 정!말! 좋다.
2. 시간에 대한 함수를 주파수에 대한 함수로 바꾸어 표현할 수 있다.
3. 역변환이 Laplace보다 쉽다.

사실 1번은 아직 느끼기엔 갈 길이 멉니다 ㅠㅠ 일단 PDE를 풀어봐야 하니까요 ㅠㅠ
2번 덕분에! 통신 기술이 엄청 발달할 수 있었습니다. 뿐만 아니라 Data Analysis 에 대한 방법도 매우 빠른 진행이 가능하게 되었습니다. 그래서 어떻게 해서든 ‘시간에 대한 함수’를 ‘주파수’로 고치기 위해 기계 내부적으로 조작을 해주는 경우도 상당히 많이 볼 수 있죠.
3번은, 네 그렇습니다. Laplace transform 의 역변환은 꼼짝없이 쌩암기였던 것 기억하나요 ㅠ.ㅠ 하지만 Fourier transform 의 역변환은 자기 자신과 부호 하나만 빼고 똑같습니다. 다만 계산이 좀 복잡하긴 하지만, 역변환이 자기 자신과 똑같다는 것은, 즉 ‘표기가 쉽다’는 것은 상당한 메리트를 지닌 성질입니다. 식 정리가 매우 쉽거든!

이러한 큰 장점들을 가지고, Fourier transform 을 응용해 나갈겁니다. 이번에도 긴 연재가 될테니, 심호흡을 한 번 하고 따라오실 준비를 하면 되겠습니다. 화이팅!

연재 계획

(0) Fourier Series - 0.intro

Fourier transform 을 그렇게 찬양하는 이유는?

PDE와 Fourier transform 에 대한 간략한 소개

(1) Fourier Series - 1. basic

$f(x)$의 주기가 $2\pi$라면

(2) Fourier Series - 2. Extension

$f(x)$의 주기가 $2\pi$가 아니라면

우함수, 기함수로 단순화하기

왜 굳이 양쪽으로 잡아 늘일까?

(3) Fourier Series - 3. Approximation

$f(x)$에 얼마나 근접한가?

Bessel’s inequality 와 Parseval’s identity 에 대하여

(4) Fourier Series - 4. Sturm-Liouville Problems

왜 이렇게 삼각함수를 좋아하는가?

$f(x)$에 다른 함수를 집어넣을 수는 없는가?

Legendre, Bessel 의 Orthogonality 더 쉽게 증명하기

(5) Fourier Series - 5. Other Fourier series

삼각함수 말고 다른 함수를 넣은 모양을 연구해보자

Fourier-Bessel series

Fourier-Legendre series

(6) Fourier Series - 6. Fourier Integral

주기가 없는 함수는 어떻게 다룰 것인가

지금까지 간과했던 문제 - 연속성, 수렴성

Dirichlet’s discontinous factor

(7) Fourier Transform - 1. 정의

Integral 을 가지고 Transform 을 얻어내기 까지

좀 더 간단히 나타내기

(8) Fourier Transform - 2. 응용

Laplace transform 과 무엇이 다른가?

Laplace transform 에서 시도해본 성질들은 여기서도 적용 될까?

shifting은 어떻게 할까?

(9) Fourier Transform - 3. 문제 풀어보기

ODE 풀어보기

PDE 맛보기

연재의 방향

역시나, 우리는 ‘공대’이기 때문에 지나치게 엄밀한 증명은 많이….생략을 할겁니다. 항상 그래왔지만 초점은 ‘활용’에 맞춰질 거니까요! 특히나 PDE는, 기초적인 지식이 과하게 쌓여있어야 하는 감이 좀 있습니다. 생략하는 부분이 좀 많을텐데, 자세한 것은 다른 블로그의 포스팅을 참고(블로그 호스트님! 여기 간첩이...!!) 하시면 될 듯 하구요, 저는 어디까지나 ‘활용’에 좀 더 초점을 맞춘 채 포스팅을 이끌어 나가겠습니다.

다음 포스팅 예고

다음 포스팅 부터는 본격적으로 식을 전개해 나갈 겁니다. 가장 기초적인 케이스부터 시작해서, 차츰 일반적인 경우로 확장을 하는 과정을 차근차근 따라올 준비를 하고계시면 됩니다. 그럼 다음시간에 봅시다! 뿅!