#4.series solution(4. Bessel's equation : 미분적분 관계식)

그림 출처

어디까지 왔니?

• 주의 : 식이 너무 길어서 인터넷 창을 작게 해두면 잘릴 수 있습니다! 브라우저 창 크기를 최대로 키워서 봐주세요~

Bessel equation

• 4-0. 들어가기 전에 : Gamma function
• 4-1. 식 정리하기, $\nu, y_1$구해보기
• 4-2. $y_2$구하기
  
  • 4-2-1. $y_2$ 구하기 : 제 1종 Bessel function
  • 4-2-2. $y_2$ 구하기 : 제 2종 Bessel function
  • 4-2-3. $y_2$ 구하기 : $\nu =\frac{1}{2}$
• 4-3. Bessel function의 미분, 적분 점화식

Remind

• Bessel Equation
  $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$

• 점화식
  $$a_{2k} =\frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2} \\ a_0 = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\frac{1}{2^\nu}\\a_1 =0$$

• $r$의 값

  1. 중근, $\nu=0$
  2. $\nu=$(정수)
  3. $\nu= \frac{1}{2}$
  4. 그 외의 경우
• $\nu$가 정수(1, 2번 경우)
  $$J_{-\nu} = (-1)^\nu J_\nu$$

• $\nu = \frac{1}{2}$(3번 경우)
  $$J_{\frac{1}{2}}= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x\\ J_{-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x$$

• $y_1 = J_\nu$ (제 1종 Bessel function)
  $$y_1 = J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$

• $y_2$($r=0$일 때)
  $$y_2 =J_0 \ln x + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k}(k!)^2} \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + .....+ \frac{1}{k} \right) \right) x^{2k}$$
  $$Y_0 =\frac{2}{\pi}\left( y_2 + (\gamma - \ln 2 ) J_0 \right) \\ \gamma = \lim_{m \to \infty} (h_m - \ln m)\\ h_m = 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{m}$$

• $Y _\nu$(제 2종 Bessel function)
  $\nu$가 정수가 아닌 경우 $$Y_\nu (x) = \frac{J_\nu (x) \cos \nu \pi - J_{-\nu} (x)}{\sin \nu \pi}$$
  $\nu$가 정수인 경우 $$Y_n (x) =\lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu (x) \cos \nu \pi - J_{-\nu} (x)}{\sin \nu \pi}$$

• 일반해
  $$y= c_1 J_\nu + c_2 Y_\nu$$
  정수가 아닌 $\nu$에 대해, 아래의 일반해도 가능
  $$y=c_1 J_\nu + c_2 J_{-\nu}$$

ㅋㅋ 수고가 많으셨습니다 ㅠㅠ 베쎌은 이번 포스팅을 끝으로 마무리를 지을 수 있을 것 같네요 ㅎㅎ

Bessel function 미분하기

#0. 왜?

이걸 왜 굳이 미분하느냐 하면….
$\nu=0$이라던가, $\nu=\frac{1}{2}$정도의 값은 손으로 쉽게(?!!) 계산을 할 수 있겠지만(우리는 모두 구했잖아요~) 이제 $\nu=1, 2, 3.....$같은 걸 구하기 시작하면 엄청 골치가 아파집니다. 가뜩이나 복잡한 식에 뭔가를 대입하는 건 그리 달가운 일은 아니니까요….ㅋㅋㅋ 그래서 뭔가 ‘낮은 $\nu$에서 높은 $\nu$를 얻을 수 있는 식은 없을까?’ 하는 생각에 미분을 해서 뭔갈 얻어보고자 시도합니다. 가지가지한다진짜... 그러고 나니 만족스러운 결과가 나오고, 그래서 공식을 만들어 두는 겁니다. 그러면 차근차근 미분을…ㅎㅎㅎ

#1. 공식

우리가 최종적으로 얻게 될 공식은 아래의 네 개입니다.
1. $$\frac{d[x^\nu J_\nu (x)]}{dx} = x^\nu J_{\nu-1} (x)$$
2. $$\frac{d[x^{-\nu} J_\nu (x)]}{dx} = -x^{-\nu} J_{\nu+1} (x)$$
3. $$J_{\nu-1} (x) + J_{\nu +1} (x) = \frac{2\nu}{x} J_\nu (x)$$
4. $$J_{\nu-1} (x) - J_{\nu+1} (x) = 2 \frac{dJ_\nu (x)}{dx}$$

3, 4번 공식은 1번과 2번을 잘 조합해서 나오는 공식이고, 1, 2번은 직접 미분을 때려봐야 합니다. 함께 미분을 때려봅시다…ㅎㅎㅎ

#2. 미분(1)

$$J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$
였던 것 기억하죠? 그럼 이제 양변에 $x^\nu$를 곱해봅시다.
$$x^\nu J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \frac{x^{2k+2\nu}}{2^{2k+\nu}} \right)$$
이제 우변의 양변을 $x$에 대해 미분…을 때려볼건데요, 시그마 밑에 있는 $k$의 범위는 신경써줄 필요가 없습니다. $x$의 차수가 0보다 작아지는게 없기 때문에…

$$\begin{align}& \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{(2k+2\nu)}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \frac{x^{2k+2\nu-1}}{2^{2k+\nu}} \right) \\ =& x^\nu \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{2(k+\nu)}{(k+\nu) \Gamma(k+\nu) k!} \frac{x^{2k+\nu-1}}{2^{2k+\nu}}\right) \end{align}$$
이제 $2(k+\nu)$를 약분하면
$$x^\nu \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu) k!}\frac{x^{2k+\nu-1}}{2^{2k+\nu-1}}\right)$$
이렇게 될겁니다. 이제 식을 아주 잘 관찰을 해볼텐데…
$$J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)\\ J_{\nu-1} =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu-1}\right)$$
위에서 얻은 식의 뒷부분과 $J_{\nu -1}$이 정확하게 일치하는 모습을 볼 수 있습니다. 그러니..

$$x^\nu \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu) k!}\frac{x^{2k+\nu-1}}{2^{2k+\nu-1}}\right) = x^\nu J_{\nu-1}$$

그러니 최종적으로
$$\frac{d[x^\nu J_\nu (x)]}{dx} = x^\nu J_{\nu-1} (x)$$
를 얻을 수 있네요.

#3. 미분(2)

이번에는
$$J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$
여기에, 양변에 $x^{-\nu}$를 곱해봅시다.
$$x^{-\nu}J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \frac{x^{2k}}{2^{2k+\nu}}\right)$$
이번에는 우변을 미분할 때 $x$의 차수가 0보다 작아질 수가 있습니다. 그러니 $k=1$부터 시작하겠네요.
$$\begin{align}& \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{2k}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \frac{x^{2k-1}}{2^{2k+\nu}}\right) \\ =& \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{2k}{\Gamma(k+\nu+1) k(k-1)!} \frac{x^{2k-1}}{2^{2k+\nu}} \right)\end{align}$$
다시 약분하면…
$$\sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) (k-1)!} \frac{x^{2k-1}}{2^{2k+\nu-1}} \right)$$
굉장히 $k-1=s$로 치환하고 싶어지는 식이죠?ㅎㅎ
$$\begin{align} & \sum_{s=0}^\infty \left( (-1)^{s+1} \frac{1}{\Gamma(s+\nu+2) s!} \frac{x^{2s+1}}{2^{2s+\nu+1}} \right) \\ =&x^{-\nu} \sum_{s=0}^\infty \left( (-1)^{s+1} \frac{1}{\Gamma(s+\nu+2)s!} \frac{x^{2s+\nu+1}}{2^{2s+\nu+1}} \right) \end{align}$$
그러면, 다시 식을 비교해봅시다.
$$J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right) \\ J_{\nu+1} = \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+2)k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu+1} \right)$$
시그마 뒷 부분에 있는 식이 $J_{\nu+1}$과 동일하다는 사실, 알아 채셨죠? 이제 식을 다시 정리해보면

$$\frac{d[x^{-\nu} J_\nu (x)]}{dx} = -x^{-\nu} J_{\nu+1} (x)$$
를 얻겠죠.

#3. 미분식 전개하기

얻어진 미분 점화식의 좌변이 그냥 ‘한꺼번에 미분’ 형태로 되어있으니, 그걸 전개해봅시다.
$$\begin{align}\frac{d[x^\nu J_\nu (x)]}{dx} &= x^\nu J_{\nu-1} (x) \\ \nu x^{\nu-1} J_\nu (x) + x^\nu \frac{dJ_\nu (x)}{dx} & = x^\nu J_{\nu -1}(x) \\ \\ \frac{d[x^{-\nu} J_\nu (x)]}{dx} &= -x^{-\nu} J_{\nu+1} (x) \\ -\nu x^{-\nu-1}J_\nu (x) + x^{-\nu} \frac{dJ_\nu (x)}{dx} &= -x^{-\nu} J_{\nu+1} (x) \\ -\nu x^{\nu -1} J_\nu (x) + x^\nu \frac{dJ_\nu (x) }{dx}&= -x^\nu J_{\nu+1}(x)\end{align}$$
두 번째 식은 $x^{-\nu}$가 붙어있는 관계로, 양변에 $x^{2\nu}$를 곱해줘서 식을 변형했습니다. 즉 전개해서 얻어진 식은 아래의 두 식이네요.
$$\begin{align} \nu x^{\nu-1} J_\nu (x) + x^\nu \frac{dJ_\nu (x)}{dx} & = x^\nu J_{\nu -1}(x) \\ -\nu x^{\nu -1} J_\nu (x) + x^\nu \frac{dJ_\nu (x) }{dx}&= -x^\nu J_{\nu+1}(x)\end{align}$$

• 두 식을 더하면,
  $$\begin{align}2x^\nu \frac{dJ_\nu (x) }{dx} &= x^\nu (J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x))\\ 2\frac{dJ_\nu (x)}{dx} &= J_{\nu-1} (x) - J_{\nu+1}(x)\end{align}$$

• 두 식을 빼면,
  $$\begin{align}2\nu x^{\nu-1} J_\nu (x) &= x^\nu (J_{\nu-1} (x) + J_{\nu+1}(x)) \\ \frac{2\nu}{x} J_\nu (x)&= J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1} (x) \end{align}$$

참 쉽죠?ㅋㅋㅋ
이렇게 1~4번 공식을 모두 증명해 봤습니다.

Bessel function 적분하기

물론 series 를 그대로 적분하겠다는게 아니라, 미분 공식 네 개를 조금 변형해서 적분공식을 써보자…는 거죠! 별거 없습니다. ㅋㅋ
1. $$\frac{d[x^\nu J_\nu (x)]}{dx} = x^\nu J_{\nu-1} (x)$$
2. $$\frac{d[x^{-\nu} J_\nu (x)]}{dx} = -x^{-\nu} J_{\nu+1} (x)$$
3. $$J_{\nu-1} (x) + J_{\nu +1} (x) = \frac{2\nu}{x} J_\nu (x)$$
4. $$J_{\nu-1} (x) - J_{\nu+1} (x) = 2 \frac{dJ_\nu (x)}{dx}$$
네 개 공식을 3번만 빼고 다 적분해줘버리면,
1. $$x^\nu J_\nu (x) = \int x^\nu J_{\nu-1} (x) dx$$
2. $$x^{-\nu} J_\nu (x) = -\int x^{-\nu} J_{\nu+1} (x) dx$$
3. X
4. $$\int J_{\nu-1} (x)dx -\int J_{\nu+1} (x)dx = 2J_\nu (x)$$
끝! 간만에 간단하네요 ㅋㅋㅋㅋ

어떻게 사용할건데?

가장 와닿는 것 부터 볼까요? 당장 $J_\frac{3}{2}$를 구하고 싶다고 합시다. 그러면, 미분 공식의 2번 식에다가 $\nu = \frac{1}{2}$를 넣어봅니다.

$$\frac{d[x^{-1/2}J_\frac{1}{2}(x) ]}{dx}= -x^{-\frac{1}{2} } J_\frac{3}{2} (x)$$

그런데,
$$x^{-\frac{1}{2}}J_\frac{1}{2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin x}{x}$$
라는걸 알 고 있으니 이걸 $x$에 대해 미분해주기만 하면 $J_\frac{3}{2}$의 값을 쉽게 구할 수 있을 겁니다.

아니면, 미분 공식의 3번 식에 $\nu = \frac{3}{2}$를 마찬가지로 대입해보면
$$J_{-\frac{1}{2}}(x) + J_\frac{3}{2}(x) = \frac{1}{x} J_\frac{1}{2}(x)$$
어차피 $\nu = \pm \frac{1}{2}$일 때의 값은 알고 있으니 쉽게 구할 수 있을 겁니다.

이런식으로, 다양한 형태의 Bessel function 에 대한 적분, 미분을 ‘이론적으로는’ $\nu$가 아주 큰 경우까지 구할 수 있다는 것을 알 수 있게 되었네요. 아마 여기보다 양자역학이나, 열전달에서 훨씬 더 많이 쓰일 것 같으니 쓸 때 마다 여기로 링크를 걸어주지 않을까 싶…..쿨럭

다음 시간에는….

길고 험난한 여정을 함께하시느라 수고 많으셨습니다. 이제 Bessel function 자체적인 것에 대한 이야기는 모두 끝났고, 다음 포스팅에서는 Legendre equation 과 Bessel equation 을 정리하고, 그래프를 조금 확인해보고, 이 함수가 왜이렇게 중요해서 많이 다뤘는지에 대해 조금 알아보겠습니다. 정말정말 수고 많으셨습니다!