0.0. Introduction

0.0. Introduction

인삿말

안녕하세요? 저는 이번에 STEMentor에서 공학수학을 연재하게 된 STEM 6기 YJ입니다. 이 연재는 보통 공대에서 배우는 공학수학의 내용에서 "참새와 함께하는 공학수학"에서 다뤄지지 않은 편미분방정식(PDE) 그리고 복소해석 부분을 다룰 예정입니다.

편미분방정식과 복소해석은 대부분의 공학수학 커리큘럼에서 다루지만, 많은 분들이 어려워하는 부분으로 알고 있습니다. PDE의 경우에는 계산이 복잡하고 직관적으로 이해하기 어려운 편미분 개념을 다루고 있어서, 그리고 복소해석의 경우에는 복소함수와 복소평면이라는 낯선 개념을 사용하기에 어렵게 느껴지는 것 같습니다.

그래서 이 연재는 여러분의 공부를 도와드리기 위해, 다음과 같은 목표로 진행될 예정입니다:

연재 목표

1. 편미분방정식, 복소해석의 내용을 익히고 그 수학적 도구들이 공학에서 왜 필요한지를 이해한다
2. 복잡하고 어려운 계산을 상세히 설명하고, 이를 쉽게 따라갈 수 있는 형태로 정리한다
3. 편미분, 복소함수와 관련된 개념들을 명료하게 전달해 오해가 없도록 한다

저는 이런 목표를 함께 달성하기 위해, 여러분들이 다음을 꼭 숙지해 주셨으면 합니다:

숙지할 점

1. 식의 전개 과정이나 증명의 내용을 반드시 직접 쓰면서 따라간다
2. 더 확실히 이해하고 오래 기억하기 위해서 반드시 연습문제를 풀어본다
3. 질문사항이나 빠지거나 잘못된 부분이 있다면 댓글로 알린다

그런데, 편미분방정식(PDE)은 왜 배우나요?

PDE를 배우는 이유는,편미분방정식은 공학과 과학의 여러 분야에서 PDE가 흔히 등장하기 때문입니다. 공학자나 과학자가 다뤄야할 분석의 대상은 시간과 공간에 동시에 의존하는 경우가 많습니다. 따라서 그 물리량은 시간과 공간을 동시에 변수로 갖는 다변수함수이고, 그 물리량들을 연관짓는 방정식은 PDE입니다.

저희는 해석적으로 풀 수 있으며 해가 어렵지 않은 PDE만을 다루겠지만, 그 해를 구하는 과정은 전혀 쉽지 않다는 사실도 알게 될 것입니다. 이는 PDE의 해가 초기조건에 따라 크게 달라지기 때문입니다.

공학과 과학에서 등장하는 중요한 편미분방정식의 예로는 다음의 식들이 있습니다:

슈뢰딩거 방정식

양자역학에서 물질파를 기술하는 방정식입니다. 이 방정식은 사실 전체 에너지가 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합임($E=K+V$)을 전개한 것입니다. 이때 $|\psi {|}^2$는 입자의 확률분포함수입니다. (STEMentor의 양자역학 강의에서 열심히 배우는 내용이기도 합니다.)
$$i\mathrm{\hslash }\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+V(x)\psi$$여기서 $\mathrm{\hslash }=\frac{h}{2\pi }$, $h$ 는 볼츠만상수, $m$ 은 입자의 질량, $V(x)$ 는 퍼텐셜에너지입니다.

열전달 방정식

푸리에의 법칙에 의해, 열속(heat flux)은 온도의 변화율에 비례합니다. 따라서 시간과 공간에 대한 온도의 분포는 다음의 간략화된 열전달 방정식을 통해서 구할 수 있습니다.
$$\frac{\partial T}{\partial t}=c^2\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$ 여기서 $c^2$ 는 열확산율(thermal diffusivity)입니다.

파동방정식

음파, 전자기파 그리고 현의 진동과 같은 모든 종류의 파동은 다음과 같은 파동방정식으로 표현될 수 있습니다.
$$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}$$여기서 $v$ 는 파동의 속력입니다.

그러면, 복소해석은 왜 배우나요?

저희가 공학수학에서 배우는 복소해석의 내용은 대부분 폐곡선 적분(contour integral)에 관한 것입니다. Contour integral은 문자 그대로는 폐곡선 적분을 의미하지만, 많은 경우 이 단어는 복소수 함수에 관한 적분을 의미합니다.

우리는 이 기법을 통해 지금까지는 구할 수 없었던 실수함수의 정적분 값을 구할 수 있습니다. (저의 연재에서는 다루지 않겠지만, 각종 특수함수의 점근함수(asymptotic function)를 구하는 데 사용되기도 합니다.) 복소해석이 쓰이는 정적분의 예시로는 다음이 있습니다:

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{(1+x^2{)}^2}dx=\frac{\pi }{2}$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{itx}}{1+x^2}dx=\pi e^{-|t|}$$

Contour integral을 사용하는 예시 말고도 복소해석은 유체역학에서 각종 계산을 편리하게 하기 위해서, 그리고 매질 속에서의 파동의 분산 관계(dispersion relation)를 구하는 데 사용되기도 합니다.

복소해석의 응용은 PDE보다는 멀게 느껴질 수 있고, 특히 공대라면 학부 수준에서 많이 사용되지 않을지도 모르겠습니다. 하지만 복소해석의 개념을 정확히 이해하지 못하면 복소해석을 해야할 때 잘못된 결과를 얻는 경우가 많기 때문에, 정확히 이해하는게 중요합니다!

교재 및 참고자료

제가 연재에서 설명할 모든 내용은 Erwin Kreyszig의 Advanced Engineering Mathematics (10th Edition)를 따라갈 것입니다. Chapter 12 ~ Chapter 16 의 모든 내용을 다룰 예정이며, 필요한 경우에는 설명을 추가하거나 빼는 방식으로 진행될 예정입니다. 가장 널리 사용되는 공학수학 책이며 번역도 되어있습니다.

그 외에 필요한 경우에 제가 추가로 참고하는 자료는 Mathematical Methods for Physics (Arfken, 7th edition), 그리고 Mathematical Methods for Physical Sciences (Boas, 3rd edition) 정도가 있습니다. 이 두 책은 물리학과의 물리수학 수업에서 주로 사용되는 교재로, 복소해석에 대한 설명과 여러 특수함수에 대한 설명이 아주 자세히 나와있습니다. 궁금하신 분들만 선택적으로 찾아보시면 될 것 같습니다.

다음시간: 다변수함수와 편미분 review

이정도면 제가 앞으로 설명드릴 내용에 대한 충분한 introduction이 되었으리라고 생각합니다. 그러면 다음 시간에는 PDE를 배우기 이전에 간단하게 다변수함수와 편미분의 개념을 복습하는 게시물로 찾아보도록 하겠습니다. 다음에 봐요~!