#2-2nd order ODE(2.non-homogeneous : undetermined coefficient)

#어디까지 왔니?

참새와함께하는 기초 공학수학 #2.2 - 2nd order ODE(2. non-homogeneous -1)

잠깐! $\frac{dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!

non-homogeneous 2nd order ODE

오랜만입니다! 지난 시간에 알아보았던, 2nd order ODE가 homogeneous 한 경우에 대해 복습을 그동안 열심히 했다고 믿어요! 아닌가요?
이번 포스팅에서는, non-homogeneous 한 경우에 대해 알아보도록 합니다.

기본

염두에 두고 있을 것은, homogeneous 한 해를 구해야한다는 것입니다. 예를 들어, 아래와 같은 2nd order ODE 가 있다고 합시다.

$$\frac{d^2 y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = r(x)$$
물론 이 방정식을 만족하는 해($y_p$라고 부릅시다)를 구해야합니다만, 그 전에 생각해야 하는 것은 저 식의 우변이 $0$이라면……
$$\frac{d^2 y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = 0$$
이 식의 해는 우리가 구한 적이 있습니다. 이 해를 $y_h$ 라고 놓고 잠시 생각해봅시다.
당연히 $y_p$가 해는 맞는데, 잘 생각을 해보면 $y_h + y_p$ 도 해가 될거라는 말이죠. 그래서 non-homogeneous 2nd order ODE의 해를 쓸 때는, homogeneous 한 해를 반드시 구한 해 $y_p$ 에 더해주어야 합니다. 구한 것은 모조리 활용하는 ...부들부들 이것을 염두에 두고, 따라와 봅시다. 우리가 앞으로 다룰 내용은, $y_p$를 결정하는 방법에 대한 겁니다 ^0^

이 말이 그닥 와닿지가 않을수 있어요 ㅠㅠ 이 포스팅을 처음부터 끝까지 쭉 따라가 보고, 그 다음에 한번 정독해 보면 이해가 좀 더 잘 될 겁니다. 풀이법을 알지 못하기 때문에 생소한 거니까, 포기하지 말고 따라와요!

1. 미정계수법(Undetermined-coefficient)

첫 번째로 $y_p$를 구하는 방법은, 미정계수법입니다.
이 방법은 주로, 상수계수(constant coefficient) 2nd order ODE 에 많이 사용됩니다! 말이 좋아 미정계수법이지 사실 그냥 표를 암기하는 겁니다ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
$y_p$에 굳이 $p$라는 아래첨자를 붙이는 이유는…’particular solution’, 즉 특수 해 라는 의미이니만큼, 각각의 $r(x)$에 대한 특정한 $y_p$가 정해져있습니다.

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1. $r(x) = ke^{\gamma x}$ 꼴인 경우, $y_p = Ce^{\gamma x}$
2. $r(x) = kx^n$ 꼴인 경우, $y_p = K_n x^n + K_{n-1} x^{n-1} + ... + K_1 x + K_0$
3. $r(x) = k\cos wx, k\sin wx$ 꼴인 경우, $y_p =K\cos wx+ M\sin wx$
4. $r(x) = ke^{\gamma x} \cos wx. ke^{\gamma x} \sin wx$ 꼴인 경우, $y_p = e^{\gamma x} (K\cos wx+ M\sin wx)$

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위의 1~4번에서, $C, K, M$은 전부 우리가 계산을 통해 찾아야 하는 상수!입니다. 무슨 말인가 싶을겁니다. $r(x)$의 종류에 따라 $y_p$를 적절히 대입하면서 찾아간다! 라고 생각하면 좀 간단해 질텐데요, 저렇게 주어진 해를 통째로 대입해서, 상수를 구해서 특수해를 직접 손수 찾아가자는 얘기죠 ㅠㅠ

예를 들어
$$\frac{d^2 y}{dx^2} +2 \frac{dy}{dx} + y = 4x^4+3x^2$$
이렇게 생긴 미방이 있을때, 우리는 일단 $y_p$를 4차 다항식으로 놓고, 그 계수를 하나하나 찾아나가자는 겁니다. 또 이런 방정식도 마찬가지입니다.
$$\frac{d^2 y}{dx^2} +2 \frac{dy}{dx} + y = 4\sin x + 4\cos 4x$$
이때도 우리는, $y_p$를 $K_1 \cos x + M_1 \sin x + K_2 \cos 4x + M_2 \sin 4x$라고 놓고 상수를 구해가는 겁니다.
아직도 감이 안온다면, 예제를 한 번 같이 풀어보도록 합시다 ㅎㅎ

$$\frac{d^2 y}{dx^2} +3 \frac{dy}{dx} + 2 y = 12x^2$$

1. homogeneous solution 구하기

벌써 까먹은건 아니죠? 꼭 이걸 먼저 구해야됩니다. 쭉쭉~기억을 더듬어 내려가봅시다 ㅎㅎ

$$\frac{d^2 y}{dx^2} +3 \frac{dy}{dx} + 2 y =0$$
$$y= e^{\lambda x}$$
$$\lambda ^2 + 3 \lambda + 2 = 0$$
$$\lambda = -1. -2$$
$$y_h = c_1 e^ {-x} + c_2 e^{-2x}$$

여기까지, homogeneous solution 을 구했고, 이제 particular solution 을 구할차례입니다.

2. particular solution 구하기

위의 표를 다시 보고 온다면….,

$$r(x) = 12x^2$$ 이므로,
$$y_p(x) = K_2 x^2 + K_1 x + K_0$$
라고 두고 상수들을 구해간다. 대입!!!!
$$\frac{dy_p}{dx} = 2K_2 x + K_1$$
$$\frac{d^2 y_p}{dx^2 } = 2K_2$$
$$(2K_2) + 3 (2K_2 x + K_1 ) + 2(K_2 x^2 + K_1 x + K_0) =12x^2$$

잘 따라오고 있죠? ㅠ 최소한 두번은 미분해야 하는 작업이라 귀찮을 겁니다…

정리하면,
$$2K_2 x^2 + (2K_1 + 6K_2) x + (2K_0 + 3K_1 + 2K_2 ) = 12x^2$$
양변을 비교해보면, 2차항의 계수 말고는 모두 0 이 되어야 합니다. 이 때 2차항의 계수는 12니까, $K_2$의 값을 $6$으로 정할 수 있을 겁니다.
나머지 상수들을 차례로 구해보면….
$$2K_1 + 6K_2 = 0 \\ K_1 = -18$$
$$(2K_0 + 3K_1 + 2K_2 ) =0 \\ K_0 = 21$$
결론적으로,
$$y_p = 6x^2 -18x +21$$

네 이렇게, 엄청난 고생을 통해 particular solution 을 구했습니다. 마지막 관문만이 남아있죠?

3. 최종 해 구하기

$$y= y_h + y_p =c_1 e^ {-x} + c_2 e^{-2x}+ 6x^2 -18x +21$$

해를 구하고 보니까, 남아있는 $c_1 , c_2$가 좀 거슬리나요?ㅋㅋㅋ 저건 homogeneous solution 에서 나온 상수들이니까, 값에 상관없이 그냥 알아서 0이 될겁니다. 즉, 예전에 얘기했던 초기조건이 주어져야만 구할 수 있는 값입니다. 즉, 저렇게 해가 나오는게, 일반적으로는 정상입니다. ㅋㅋㅋ 뒤쪽은 정확하게 계수가 있는데, 앞쪽은 없으니까 좀 어색할 겁니다 ㅠㅠ

1-1미정계수법을 쓸때 주의사항

좀 당황스러울 겁니다. 소위말하는…야매풀이법이잖아요?ㅋㅋ 정말 일반적인 경우에 해당하는 것은 다음번 이론 포스팅때 다루도록 하고, 몇 가지 당황스러운 케이스에 대해 짚고 넘어가고자 합니다.

1. 미정계수법은

상수계수일 때! 매우 효과적입니다. 다른 경우는 결과가 잘 나오지 않을 때도 있고, 틀린 해가 나오는 경우도 있기 때문에, 상수계수가 아닐 때는 두 번째 방법을 사용하는 것이 효과적입니다.

2. 해를 기껏 구했더니….

세상을 살다보면 항상 그렇듯이...기껏 구해놓은 해가 이모양이 나올때가 있습니다.
$$\frac{d^2 y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2.25y = -10e^-{1.5x}$$
절대 귀찮은 것은 아니고여러분이 이 방정식의 homogeneous solution 을 구하게 되면,
$$y_h = (c_1 + c_2 x ) e^{-1.5x}$$
를 얻습니다. particular solution 을 구하려고 표를 보고 썼더니…….
$$y_p = C e^{-1.5x}$$
음….ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
homogeneous solution 과 똑같이 생긴 해가 나와버렸습니다. 이럴 경우를 대비해서, 대책을 마련해 놓았으니 그 이름이 바로 ‘modification rule’입니다.
이런 경우, 즉 homogeneous solution 과 겹치는 해가 particular solution 에서 나온다면, $x$나 $x^2$등등….. $x^n$을 적절히 곱해서 안겹치게 만들어 주는 겁니다.
$$y_p = C x^2 e^{-1.5x}$$
요렇게!
이렇게 놓고 풀어보면, $C=-5$를 얻을 수 있을 겁니다.

3. 표에 없는 $r(x)$ -1

이런 생각을 할 수도 있습니다. 그러면 만약에, 이런 건 어떡할거냐!
$$\frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 0.75y = 2\cos x -0.25 \sin x + 0.09x$$
분명히 표에는 없습니다. 삼각함수, 다항함수 각각에 대한 $y_p$ 는 나와있지만, 둘을 더한 것에 대해 특별히 언급하고있지는 않은데요, 이럴 경우, 그냥 각각의 표에 있는 $y_p$를 더해서 상수를 구하면 됩니다.
일단 homogeneous solution 을 구하면,
$$y_h = c_1 e^{-x/2} + c_2 e^{-3x/2}$$
로 구해지고, particular solution 은
$$y_p = K\cos x + M \sin x + K_1 x + K_0$$
이렇게 놓고 네 개의 상수를 구하면 됩니다. 그냥 ‘더하기’만 하면 되는 간단한 사례!

최종적으로 구해진 해는,

$$y = c_1 e^{-x/2} + c_2 e^{-3x/2}+ \sin x + 0.12 x -0.32$$
가 됩니다. ^^

4. 표에 없는 $r(x)$ -2

그러면, $\ln x$가 나오면 어떡하냐구요? 이건 공학자들이 일반화 시켜놓질 않았습니다 ㅠㅠㅠ 다음번 포스팅에서 소개할 바로 그! 방법으로 풀어야 합니다….조금만 기다리세요!!

정리

상당히 야매의 냄새가 짙은 풀이법이었습니다. 그리고 $r(x)$가 지수함수와 삼각함수의 곱으로 나와버리면 계산량이 엄청나게 뛰는 풀이법이죠ㅠㅠ 그래도, 이 다음에 포스팅할 일반적인 경우에 비하면 계산량이 적은 축에 속하고, 수많은 공대생들의 경험에서 나온 빠른 풀이법이니만큼! 숙달해서 빠르게빠르게 해치울 수 있도록 노력해 봅시다 ㅠㅠ 위의 예제들은 모두 한번씩 풀어보구요, 다음에 Problem sets 한꺼번에 모아서 올려보도록 하겠습니다. 화이팅!